линейные пространства

Ранг матрицы

Пусть задана матрица $\begin{equation*} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \end{equation*},$ где $n$ столбцов и $m$ строк. Заметим, что числа не имеют никакой связи между собой. Будем рассматривать столбцы как вектора $m-$ мерного пространства. То есть в таком виде: $\alpha_1 = \left(a_{11}, a_{21},\dots,a_{m1}\right),$ $\alpha_2 = \left(a_{12}, a_{22},\dots,a_{m2}\right),$ $\vdots$ $\alpha_m = \left(a_{1n}, a_{2n},\dots,a_{mn}\right).$ Они могут быть линейно зависимыми. Тогда имеет место такое определение:

Пусть задана матрица $A = \|a_{ij}\| \in M_{m \times n}(P).$
называется ранг системы её столбцов, то есть количество векторов (столбцов) в максимально линейно независимой системе столбцов матрицы $A.$ Обозначение: $\mathop{\rm rank} A.$

Ранг нулевой матрицы равен нулю.
$\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix} \right).$ Как видим, столбцы равны между собой, а значит линейно независимые столбцы отсутствуют, их количество равно нулю и, по определению, ранг равен нулю.

Ранг системы столбцов также можно называть «столбцовым» рангом. Очевидно, для строк существует аналогичное название — «строчный» ранг. Однако в этом случае строки будут рассматриваться как вектора $n-$ мерного пространства, а именно: $\beta_1 = \left(a_{11}, a_{12},\dots,a_{1n}\right),$ $\beta_2 = \left(a_{21}, a_{22},\dots,a_{2n}\right),$ $\vdots$ $\beta_n = \left(a_{m1}, a_{m2},\dots,a_{mn}\right).$ Ранги равны между собой, что следует из теоремы о ранге матрицы. Необходимо упомянуть, что $\mathop{\rm rank} A \leqslant min\left\{n,m\right\}$ , где $n$ — количество столбцов матрицы $A$ , а $m$ — количество строк. Этот факт также следует из теоремы.

Найти ранг матрицы $A = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 & 5 & 12 & -6 \\ 5 & 4 & -1 & -25 & 16 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & -10 & 0 & 9 \end{array} \right).$ Запишем столбцы как вектора и проверим есть ли зависимость: $\alpha_1 = \left(-1,5,2\right),~ \alpha_2 = \left(3, 4, 0\right),~ \alpha_3 = \left(2,-1,3\right),$ $\alpha_4 = \left(5,-25,-10\right),~ \alpha_5 = \left(12,16,0\right),~ \alpha_6 = \left(-6,3,9\right).$ В нашем случае она очевидна: $\alpha_4 =-5 \cdot \alpha_1,~ \alpha_5 = 4 \cdot \alpha_2,~ \alpha_6 =-3 \cdot \alpha_3.$ Значит, линейно независимых столбцов в матрице три и, по определению, $\mathop{\rm rank} A = 3.$

Найти ранг матрицы $A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right).$ Ранг столбцов равен $4.$ Но это превышает ранг матрицы, который должен быть не больше трех. Узнаем, с помощью элементарных преобразований, есть ли среди строк линейно зависимые: $\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \end{array} \right).$ Линейно независимых строк две. Позже будет доказано, что «строчный» ранг равен рангу матрицы. А так как нам известен ранг строк, можно сказать, что $\mathop{\rm rank} A = 2.$

Смотрите также

Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, стр. 71
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры — 2009 стр. 346
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц $S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid$ $\$ $A^{t}=A \}$ . Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем $\mathbb R$ ?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве $S$ .

По теореме об аддитивной группе матриц $\left(S,+ \right)$ — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
Проверим выполнение свойств для данного отображения ∙:R×S→S
- $E \cdot A=A,$ $\$ $\forall A \in S$
  $\begin{Vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}$
- $\alpha \left(\beta A \right)=$ $\$ $\left(\alpha \beta \right)A,$ $\$ $\forall A \in S,$ $\$ $\forall \alpha,\beta \in \mathbb R$
  $\alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=$ $\$ $\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\ \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}$
Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.
Проверим выполнение третьей группы аксиом:
- $\alpha \left(A + B \right)=$ $\$ $\alpha A + \alpha B,$ $\$ $\forall \alpha \in \mathbb R,$ $\$ $\forall A, B \in S$
  $\alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=$ $\$ $\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\ a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\ \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\ \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\ \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}$
- $\left(\alpha + \beta \right)A=$ $\$ $\alpha A + \beta A,$ $\$ $\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,$ $\$ $\forall A \in S$
  $\left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\ \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\ \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=$ $\$ $\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}$
Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

$\Rightarrow$ множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем $\mathbb R.$

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество $F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid$ $\$ $\deg f\left(x\right)=n\}$ . Проверить, является ли данное множество над полем $\mathbb R$ абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве $F$ .

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве $F$ (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). $\Rightarrow$ множество $F$ над полем $\mathbb R$ не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество $T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid$ $\$ $\deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge$ $\$ $a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}$ , где $a_{i}$ — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем $\mathbb R$ абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве $T$ .

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. $\Rightarrow$ множество $T$ над полем $\mathbb R$ не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

Лекции Г.С. Белозерова
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Является ли множество кососимметричных матриц $S=\left\{A \in M_{2}\left(\mathbb R\right) \mid A^{t}=-A \right\}$ абстрактным линейным пространством?
- Является
- Не является, потому что не выполняется первая группа аксиом
- Не является, потому что не выполняется вторая группа аксиом
- Не является, потому что не выполняется третья группа аксиом
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Что из перечисленного не является абстрактным линейным пространством?
- Множество $X=\{ A \in M_{n\times1}\left(\mathbb R \right) \mid$ $\begin{Vmatrix}a_{i1}\end{Vmatrix}\geqslant 0,$ $i=\overline{1,n}\}$ над полем $\mathbb R$
- Множество $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$
- Множество решений неоднородной системы $ax=b,b\neq 0$ над полем $\mathbb R$
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 1

Установите соответствие между множеством и числовым полем, над которым это множество является абстрактным линейным пространством.

Элементы сортировки

Любое числовое поле
$\mathbb R$
$\mathbb C$

Нулевое множество

$\left\{0\right\}$

Множество решений однородной системы

$Ax=0$

Множество решений уравнения

$y^{4}+y^{2}+1=0$

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть $X\neq \varnothing$ , $\mathbb P$ — поле. $\left(X,\mathbb P \right)$ называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

На $X$ задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой $\left(X,+ \right)$ — абелева группа.
Задано отображение: ∙:P×X→X такое, что:
- $1 \cdot x=$ $\$ $x, \forall x\in X,$
- $\alpha \left(\beta x \right)=$ $\$ $\left(\alpha\beta \right)x,$ $\$ $\forall x\in X,$ $\$ $\forall \alpha, \beta \in \mathbb P.$
- $\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=$ $\$ $\alpha x_{1} + \alpha x_{2},$ $\$ $\forall \alpha \in \mathbb P,$ $\$ $\forall x_{1}, x_{2} \in X,$
- $\left(\alpha + \beta \right)x=$ $\$ $\alpha x + \beta x,$ $\$ $\mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P,$ $\$ $\mathcal{8} x \in X.$

Элементы поля $\mathbb P$ называются скалярными, а множество $X$ называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

$\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P$

Спойлер

$\alpha \cdot 0=$ $\$ $\alpha \left(0 + 0 \right)=$ $\$ $\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)$
$\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=$ $\$ $\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)$
$0=$ $\$ $\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=$ $\$ $\alpha \cdot 0$

[свернуть]
$0 \cdot x=0, \forall x \in X$

Спойлер

Доказывается по аналогии со следствием 1.

[свернуть]
$\left(-\alpha \right)x=$ $\$ $-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X$

Спойлер

$\left(-\alpha \right)x + \alpha x=$ $\$ $\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=$ $\$ $0 \cdot x=$ $\$ $0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=$ $\$ $-\left(\alpha x \right)$

[свернуть]
$\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X$

Спойлер

Доказывается по аналогии со следствием 3.

[свернуть]
$\left(\alpha — \beta \right)x=$ $\$ $\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X$

Спойлер

$\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=$ $\$ $\alpha x + \left(-\beta x\right)=$ $\$ $\alpha x + \left(-\beta \right)x=$ $\$ $\alpha x — \beta x$

[свернуть]
$\alpha \left(x — y \right)=$ $\$ $\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P$

Спойлер

Доказывается по аналогии со следствием 5.

[свернуть]
$\alpha x=$ $\$ $0 \Leftrightarrow \alpha =$ $\$ $0 \vee x=$ $\$ $0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X$

Спойлер

$\alpha x=$ $\$ $0 \Rightarrow$ Пусть $\alpha \neq 0$
$x=$ $\$ $1 \cdot x=$ $\$ $\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=$ $\$ $\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=$ $\$ $\frac{1}{\alpha}\cdot 0=$ $\$ $0$

[свернуть]
$\alpha x=$ $\$ $\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=$ $\$ $y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X$

Спойлер

$\alpha x=$ $\$ $\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=$ $\$ $0 \Rightarrow x — y=$ $\$ $0 \Rightarrow x=y$

[свернуть]
$\alpha x=$ $\$ $\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =$ $\$ $\beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X$

Спойлер

Доказывается по аналогии со следствием 8.

[свернуть]

Примеры:

Пространства направленных отрезков, в частности, $V_{1}, V_{2}, V_{3}$
$\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)$
$\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]$
$\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}$
$\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R$
$\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P$

Литература:

Белозеров Г.С. Конспект лекций
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: линейные пространства

Ранг матрицы

Смотрите также

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Условие задачи

Задача №2

Условие задачи

Задача №3

Условие задачи

Литература:

Абстрактные линейные пространства

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Следствия из аксиом

Примеры:

Литература:

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат