Геометрическая интерпретация комплексного числа

Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат.

геометрическая интерпретация комплексного числа

Данная плоскость называется комплексной. Ось x называется вещественной, а ось y — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция z=\left(a,b\right)= a+bi \leftrightarrow M\left(a,b\right)

Определение 1

Модулем комплексного числа z=a+bi называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
\left|z\right|= \sqrt{a^{2}+b^{2}}=  \sqrt{\left(\mathrm{Re}\ z\right)^{2}-\left(\mathrm{Im}\ z\right)^{2}}, \left|z\right| \geq 0
\left|z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:
\left|z_{1}-z_{2}\right|= \left|\left(x_{1}+iy_{1}\right)-\left(x_{2}+iy_{2}\right)\right|=  \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа \left(\mathrm{Arg}\ z\right). Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

аргумент

\mathrm{Arg}\ z = \mathrm{arg}\ z + 2\pi k, k\in\mathbb Z, 0\leq \mathrm{arg}\ z < 2\pi[/latex], где [latex]\mathrm{arg}\ z[/latex] - главное значение аргумента комплексного числа.</p> </div> <div> <h3>Пример 1</h3> <p><b>Задание:</b><br /> Изобразите графически [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|< 2[/latex] <b>Решение:</b><br /> [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|= \sqrt{\left(x+1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<2[/latex] Ответ:
пример 1

Пример 2

Задание:
Изобразите графически \frac{\pi}{6}\leq \mathrm{arg}\ z<\frac{\pi}{3}[/latex] Ответ:
пример 2

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33

Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

Тест на знание темы: «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»


Таблица лучших: Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid \(\ \)A^{t}=A \}. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем \mathbb R?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве S.

  1. По теореме об аддитивной группе матриц \left(S,+ \right) — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
  2. Проверим выполнение свойств для данного отображения \bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S
    • E \cdot A=A,\(\ \) \forall A \in S
      \begin{Vmatrix} 1& 0\\  0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}
    • \alpha \left(\beta A \right)=\(\ \)\left(\alpha \beta \right)A,\(\ \) \forall A \in S, \(\ \)\forall \alpha,\beta \in \mathbb R
      \alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=\(\ \)\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\  \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\  \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}

    Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.

  3. Проверим выполнение третьей группы аксиом:
    • \alpha \left(A + B \right)=\(\ \)\alpha A + \alpha B,\(\ \) \forall \alpha \in \mathbb R,\(\ \) \forall A, B \in S
      \alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\  b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=\(\ \)\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\  a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\  \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\  \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\  \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\  \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\  b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}
    • \left(\alpha + \beta \right)A=\(\ \)\alpha A + \beta A, \(\ \)\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,\(\ \) \forall A \in S
      \left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\  \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\  \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\  \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\  \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}

    Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

\Rightarrow множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем \mathbb R.

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)=n\}. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве F.

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве F (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). \Rightarrow множество F над полем \mathbb R не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge \(\ \) a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}, где a_{i} — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве T.

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. \Rightarrow множество T над полем \mathbb R не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть X\neq \varnothing, \mathbb Pполе. \left(X,\mathbb P \right) называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На X задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой \left(X,+ \right)абелева группа.
  2. Задано отображение: \bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X такое, что:
    • 1 \cdot x=\(\ \)x, \forall x\in X,
    • \alpha \left(\beta x \right)=\(\ \)\left(\alpha\beta \right)x,\(\ \) \forall x\in X,\(\ \) \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.
    • \alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=\(\ \)\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, \(\ \)\forall \alpha \in \mathbb P,\(\ \) \forall x_{1}, x_{2} \in X,
    • \left(\alpha + \beta \right)x=\(\ \)\alpha x + \beta x,\(\ \) \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, \(\ \)\mathcal{8} x \in X.

Элементы поля \mathbb P называются скалярными, а множество X называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. \alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P
    Спойлер

    \alpha \cdot 0=\(\ \)\alpha \left(0 + 0 \right)=\(\ \)\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)
    \alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=\(\ \)\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)
    0=\(\ \)\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=\(\ \)\alpha \cdot 0

    [свернуть]
  2. 0 \cdot x=0, \forall x \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \left(-\alpha \right)x + \alpha x=\(\ \)\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=\(\ \)0 \cdot x=\(\ \)0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right)

    [свернуть]
  4. \left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. \left(\alpha - \beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=\(\ \)\alpha x + \left(-\beta x\right)=\(\ \)\alpha x + \left(-\beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x

    [свернуть]
  6. \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)\alpha x - \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. \alpha x=\(\ \)0 \Leftrightarrow \alpha =\(\ \)0 \vee x=\(\ \)0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \alpha x=\(\ \)0 \Rightarrow Пусть \alpha \neq 0
    x=\(\ \)1 \cdot x=\(\ \)\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=\(\ \)\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=\(\ \)\frac{1}{\alpha}\cdot 0=\(\ \)0

    [свернуть]
  8. \alpha x=\(\ \)\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=\(\ \)y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Спойлер

    \alpha x=\(\ \)\alpha y \Rightarrow \alpha x - \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)0 \Rightarrow x - y=\(\ \)0 \Rightarrow x=y

    [свернуть]
  9. \alpha x=\(\ \)\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =\(\ \) \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, V_{1}, V_{2}, V_{3}
  2. \left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)
  3. \left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]
  4. \left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}
  5. \left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R
  6. \left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Порядок группы

Порядок группы

Пусть \left(G,*\right)группа, если Gконечное множество, то порядком группы называется число элементов G и обозначается \left|G \right| или \mathrm{card} G. Если Gбесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть \left(G,*\right) — произвольная группа и a — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

  1. Все степени элемента a различны, то есть m\neq n \Rightarrow a^{m} \neq a^{n}. В этом случае говорят, что элемент a\in G имеет бесконечный порядок.
  2. Имеются совпадения a^{m}=a^{n} при m\neq n. Если, например, m>n, то a^{m-n}=e, то есть существуют положительные степени элемента a\in G, равные единичному элементу. Пусть q\ - наименьший положительный показатель, для которого a^{q}=e. Тогда говорят, что a — элемент конечного порядка q.

В конечной группе \left(G,*\right) все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть \left(G,*\right) — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если \left(G,*\right) — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы \left(G,*\right) делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Спойлер

Пусть \left(G,*\right) — конечная группа порядка m и a — некоторый ее элемент порядка k. Тогда m=kl (при целом l) и a^{m}=(a^{k})^{l}=e. Следовательно, верно следующее предположение:
Любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единичный элемент.
Следовательно, порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.
\blacksquare

[свернуть]

Примеры:

  1. Пусть \left(G,+ \right) — группа, где G=\left\{1,2,3,4 \right\}. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=4
  2. Пусть \left(G,* \right) — группа, где G=\mathbb N. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=\infty

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных