Путем на плоскости называется отображение t↦(φ(t),ψ(t)) отрезка [α,β] в R2, задаваемое парой непрерывных функций φ и ψ. Это означает, что каждому значению t∈[α,β] ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x,y), где x=φ(t),y=ψ(t). След пути — множество точек {(φ(t),ψ(t))∈R2:t∈[α,β]}. Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции φ и ψ непрерывно дифференцируемы на отрезке [α,β], то путь γ=(φ,ψ) называется дифференцируемым.
Теорема
Дан путь γ : {x=φ(t)y=ψ(t)
Пусть γ=(φ,ψ) непрерывно дифференцируемый путь на отрезке [α,β].
Тогда L(γ)=∫βα√[φ‘(t)]2+[ψ‘(t)]2dt, где L(γ) — длина пути.
Доказательство
Часть 1
Π:α=x0<x1<…<xn=β — произвольное разбиение отрезка [α,β]. Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина: S=Σn−11√(xi+1−xi)2+(yi+1−yi)2 — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:
xi+1−xi=φ‘(ti)(ti+1−ti);
yi+1−yi=ψ‘(ti)(ti+1−ti);
Тогда длина ломаной будет равна: S=Σn−11√(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2)(ti+1−ti).
Обозначим наибольшие значения производных ψ‘(t) и φ‘(t) : L=sup(|ψ‘(t)|) и ¯L=sup(|φ‘(t)|).
Очевидно: S≤√L2+¯L2(T−t0),T и t0 — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу: S≥√l2+¯l2(T−t0), где l=inf(|ψ‘(t)|),¯l=inf(|φ‘(t)|)
Часть 2
У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:
S≤√L2+¯L2(T−t0);
S≥√l2+¯l2(T−t0);
Получаем: √L2+¯L2(T−t0)≥S≥√l2+¯l2(T−t0),p=inf(S)
А теперь возьмём точку a1 на нашей дуге с координатами (t1,y1). Придадим её абсциссе приращение Δt и получим точку a2(t1+Δt,y2). Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При Δt→0 левая часть стремится к √(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2Δt. Аналогично, для правой.
Получаем √(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2Δt≥S≥√(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2Δt. Преобразуем это двойное неравенство: √(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2≥SΔt≥√(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2. L‘(γ)=√(φ‘(t))2+((ψ‘(t))2.
Тогда L(γ)=∫βα√[φ‘(t)]2+[ψ‘(t)]2dt, где L(γ) — длина пути.
Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.
Следствия из теоремы
Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.
