8.3 Длина пути

Путем на плоскости называется отображение $t\mapsto\left(\varphi\left(t\right),\psi\left(t\right)\right)$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ в $\mathbb{R}^{2}$ , задаваемое парой непрерывных функций $\varphi$ и $\psi$ .

Это означает, что каждому значению $t\in\left[\alpha,\beta\right]$ ставится в соответствие точка плоскости с координатами $\left(x,y\right)$ , где $x=\varphi\left(t\right)$ , $y=\psi\left(t\right)$ .

Точка $\left(\varphi\left(\alpha\right),\psi\left(\alpha\right)\right)$ называется началом пути, а точка $\left(\varphi\left(\beta\right),\psi\left(\beta\right)\right)$ — концом пути. Множество всех точек $\left\{\left(\varphi\left(t\right),\psi\left(t\right)\right)\in \mathbb{R}^{2}:t\in\left[\alpha,\beta\right]\right\}$ называется следом пути.

Пусть $\Pi$ – произвольное разбиение отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ точками $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$ . Обозначим $x_{i}=\varphi\left(t_{i}\right)$ , $y_{i}=\psi\left(t_{i}\right)$ и составим сумму $l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left(x_{i+1}-x_{i}\right)^2+\left(y_{i+1}-y_{i}\right)^{2}}$ . С геометрической точки зрения эта сумма представляет собой длину ломаной с вершинами $\left(x_{i},y_{i}\right)$ , вписанной в след пути.

Длиной пути называется $sup_{\Pi}l_{\Pi}$ , где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям $\Pi$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ . Сам путь обозначается через $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ , а его длина через $l_{\left(\gamma\right)}$ . Если $l_{\left(\gamma\right)}<\infty$ , то путь $\gamma$ называется спрямляемым.

Если путь $\gamma$ определяется уравнениями $x=\varphi\left(t\right)$ , $y=\psi\left(t\right)$ , $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ , где $\varphi\left(t\right)$ и $\psi\left(t\right)$ непрерывно дифференцируемые функции на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ , то этот путь спрямляем.

Для любого разбиения $\Pi$ : $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ , применяя теорему Лагранжа, получим

$l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t_{i}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t_{i}\right)\right]^{2}}=$
$=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i},$
где точки $\tau_{i}$ , $\overline{\tau_{i}}\in\left[t_{i},t_{i+1}\right]$ . По условию функции $\varphi^{\prime}\left(t\right)$ и $\psi^{\prime}\left(t\right)$ непрерывны на $\left[\alpha,\beta\right]$ , а значит, ограничены, т. е. существует такая постоянная $M$ , что $\mid\varphi^{\prime}\left(t\right)\mid\leqslant M$ , $\mid\psi^{\prime}\left(t\right)\mid\leqslant M$ для всех $t\in\left[\alpha,\beta\right]$ . Поэтому получаем
$l_{\Pi}\leqslant M\sqrt{2}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\Delta t_{i}=M\sqrt{2}\left(\beta-\alpha\right),$
так что $l_{\left(\gamma\right)}=sup_{\Pi}l_{\Pi}<\infty$ , т. е. путь $\gamma$ спрямляем.

Если функции $\varphi$ и $\psi$ непрерывно дифференцируемы на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ , то путь $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ называется дифференцируемым, или путем класса $C^{1}$ .

Пусть $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ непрерывно дифференцируемый путь на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ . Тогда
$l_{\gamma}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(t\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(t\right)\right]^{2}}dt \tag{8.1}.$

Пусть $\Pi$ : $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$ — некоторое разбиение отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ . Предположим, что мы добавили к нему одну точку $t^{\prime}\in\left[t_{i},t_{i+1}\right]$ , в результате чего получили новое разбиение $\Pi^{\prime}$ . Тогда $l_{\Pi}\leqslant l_{\Pi^{\prime}}$ . Действительно, в суммах $l_{\Pi}$ и $l_{\Pi^{\prime}}$ будут одинаковые слагаемые, кроме слагаемых, отвечающих отрезку $\left[t_{i},t_{i+1}\right]$ . В сумме $l_{\Pi}$ этому отрезку отвечает слагаемое

$s_{i}=\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t_{i}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t_{i}\right)\right]^{2}},$
а в сумме $l_{\Pi^{\prime}}$ вместо него будут два следующих слагаемых:
$s^{\prime}_{i}+s^{\prime\prime}_{i}=\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t^{\prime}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t^{\prime}\right)\right]^{2}}+$
$+\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i}\right)-\varphi\left(t^{\prime}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i}\right)-\psi\left(t^{\prime}\right)\right]^{2}}.$
Из неравенства треугольника легко видеть, что $s_{i}\leqslant s^{\prime}_{i}+s^{\prime\prime}_{i}.$

Таким образом, при измельчении разбиения суммы $l_{\Pi}$ не уменьшаются. Кроме того, по предыдущей теореме, путь $\gamma$ спрямляем, так что для любого $\varepsilon >0$ найдется такое разбиение $\Pi_{0}$ , что $l_{\left(\gamma\right)}\geqslant l_{\Pi_{0}}>l_{\left(\gamma\right)}-\varepsilon$ . Поэтому для любого разбиения $\Pi$ , которое является измельчением разбиения $\Pi_{0}$ , также справедливо неравенство
$l_{\left(\gamma\right)}-\varepsilon<l_{\Pi}\leqslant l_{\left(\gamma\right)}. \tag{8.2}$

Осталось показать, что при стремлении к нулю диаметра разбиения суммы $l_{\Pi}$ сремятся к интегралу, записанному справа в $(8.1)$ . Как мы видели выше,
$l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i}.$
Эта сумма отличается от интегральной суммы для интеграла справа в $(8.1)$ тем, что значения функций $\varphi^{\prime}$ и $\psi^{\prime}$ берутся в разных точках. Применим очевидное неравенство
$\mid\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}+b^{-2}}\mid\leqslant\frac{\mid b^{2}-b^{-2}\mid}{\mid b\mid+\mid \overline{b}\mid}\leqslant\mid b-\overline{b}\mid,$
справедливое для любых чисел $a,b$ и $\overline{b}.$ Тогда получим
$\mid l_{\Pi}-\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i}\mid\leqslant$
$\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1}\mid\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)-\psi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\mid\Delta t_{i}\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)\Delta t_{i},$
где $\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)$ — колебание функции $\psi^{\prime}$ на отрезке $\left[t_{i},t_{i+1}\right]$ . Так как функция $\psi^{\prime}$ непрерывна, то она интегрируема на $\left[\alpha,\beta\right]$ . В силу критерия интегрируемости в терминах колебаний имеем $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)\Delta t_{i}\rightarrow 0$ при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Итак, мы получили, что если только диаметр разбиения достаточно мал, то сумма $l_{\Pi}$ мало отличается от интегральной суммы, соответствующей интегралу справа в $(8.1)$ . Поэтому из $(8.2)$ следует $(8.1)$ , и теорема доказана.

Вычислить длину одной арки циклоиды $x=a\left(t-\sin t\right)$ , $y=a\left(1-\cos t\right)$ , $0\leqslant t\leqslant 2\pi$ , где параметр $a>0$ .

Имеем
$x^{\prime}\left(t\right)=a\left(1-\cos t\right),$
$l=a\int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\left(1-\cos t\right)^{2}+\sin ^{2}t}dt=a\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos t}dt=$
$=2a\int\limits_{0}^{2\pi} \mid\sin\frac{t}{2}\mid dt=-2a\cdot2\cos\frac{t}{2}\mid^{2\pi}_{0}=8a.$

Путь $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ называется жордановым, или простым путем, если отображение $\gamma:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto \mathbb{R}^{2}$ взаимно однозначно. Это означает, что различным точкам $t^{\prime},t^{\prime\prime}\in\left[\alpha,\beta\right]$ соответствуют различные точки на плоскости.

Множество $\Gamma$ на плоскости называется жордановой, или простой кривой, если оно является следом некоторого жорданового пути. Каждый такой жорданов путь называется параметризацией жордановой кривой $\Gamma.$

Если есть две различных параметризации $\gamma_{1}:\left[\alpha,\beta\right]\rightarrow\Gamma$ и $\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\Gamma$ одной и той же жордановой кривой $\Gamma$ , то $\gamma_{2}=\gamma_{1}\circ\tau$ , где $\tau$ — некоторая строго монотонная и непрерывная функция, переводящая отрезок $\left[a,b\right]$ в $\left[\alpha,\beta\right]$ . Это означает, что любые две параметризации жордановой кривой могут быть получены одна из другой с помощью непрерывной и строго монотонной замены параметра.

Пусть $\Gamma=\left\{\left(x,y\right):x+y=1,x,y\geqslant0\right\}$ . Приведем примеры параметризаций

$1) x=\cos^{2}u$

$y=\sin^{2}u$

$0\leqslant u\leqslant \frac{\pi}{2},$

$2) x=t$

$y=1-t$

$0\leqslant t\leqslant 1.$

Можно, например, выразить $t$ через $u$ следующим образом: $t=\cos^{2}u$ . Данная функция убывает на $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

Пользуясь тем фактом, что две параметризации одной и той же жордановой кривой могут быть получены одна из другой с помощью строго монотонной и непрерывной замены параметра, можно легко доказать, что для любых двух путей, являющихся параметризациями одной и той же жордановой кривой $\Gamma$ , спрямляемость одного из этих путей влечет спрямляемость другого и равенство их длин.

Жорданова кривая $\Gamma$ называется спрямляемой, если спрямляемы ее параметризации. Длиной жордановой кривой $\Gamma$ называется длина любой из ее параметризаций.

Если у жордановой кривой $\Gamma$ есть хотя бы одна непрерывно дифференцируемая параметризация $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ , то эта кривая спрямляема, а ее длина выражается равенством
$l\left(\Gamma\right)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(t\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(t\right)\right]^{2}}dt.$

Как частный случай рассмотрим следующий вопрос: как определить длину графика функции?

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана непрерывно дифференцируемая функция $f$ . Обозначим через $\Gamma$ ее график, т. е. $\Gamma=\left\{\left(x,y\right);y=f\left(x\right),a\leqslant x\leqslant b\right\}$ . Тогда $\Gamma$ является жордановой кривой, поскольку это – след жорданова пути, параметризация которого может быть задана, например, уравнениями $x=t,y=f\left(t\right)\left(a\leqslant t\leqslant b\right)$ . Поэтому при наших предположениях это спрямляемый путь и его длина равна
$l\left(\Gamma\right)=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}dx.$

Итак, мы получили формулу для длины кривой, заданной явным уравнением $y=f\left(x\right)\left(a\leqslant x\leqslant b\right).$

Примеры решения задач

Вычислить длины дуг, заданными следующими уравнениями.

$y=\sqrt{x^{3}}$ , $a=0$ , $b=1$

Решение

$l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}\text{d}x=$
$=\frac{4}{9}\int_{0}^{1} \left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}\left(1+\frac{9}{4}x\right)=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{3}{2}}\mid^{1}_{0}=$
$=\frac{8}{27}\sqrt{\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{3}}\mid^{1}_{0}=\frac{8}{27}\sqrt{\left(1+\frac{9}{4}\right)^{3}-\left(1+0\right)^{3}}=\frac{8}{27}\left(\sqrt{\left(\frac{13}{4}\right)^{3}}-1\right)$
$y=e^{x}+6$ , $\ln\sqrt{8}\leqslant x\leqslant\ln\sqrt{15}$

Решение

$l=\int\limits_{\ln\sqrt{8}}^{\ln\sqrt{15}} \sqrt{\left(y^{\prime}\right)^{2}+1}\text{d}x=\int\limits_{\ln\sqrt{8}}^{\ln\sqrt{15}} \sqrt{e^{2x}+1}\text{d}x=$
$=\begin{bmatrix}t^{2}=e^{2x}+1 \\\text{d}x=\frac{t}{t^{2}-1} \end{bmatrix}=\int\limits_{3}^{4} \frac{t^{2}-1+1}{t^{2}-1}\text{d}t=\int\limits_{3}^{4} \text{d}t + \int\limits_{3}^{4} \frac{\text{d}t}{t^{2}-1}=$
$=1+\frac{1}{2}\ln\mid\frac{t-1}{t+1}\mid\mid^{4}_{3}=1+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{6}{5}\right)$

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.1. Одесса, «Астропринт», 2010, стр 247-252
Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, стр. 234-236

Вычисление пути и его длины.

Параметрическое задание:

Дано $\left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.$

Тогда площадь находится по формуле: $S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(\varphi’ (t))^{2}+(\psi’ (t))^{2}}dt$

Полярное задание:

Дано $r=f(\alpha )$ , где $r$ — расстояние от точки до начала координат, $\alpha$ — угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью $OX$ .

$S=\int_{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sqrt{((r\cos \alpha )’)^{2}+((r\sin \alpha )’)^{2}}dt$

Пример:

Спойлер

Найдём длину первого витка спирали Архимеда:

$r=\alpha \varphi; 0\leq \varphi \leq 2\pi$

Запишем формулу длины для этого случая:

$L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(\alpha \varphi \cos \varphi)’^2+(\alpha \varphi \sin \varphi)’^2}d\varphi$

Упрощаем её, раскрываем скобки и вспоминаем о тригонометрической единице:

$L=\alpha \int_{0}^{2\pi }\sqrt{1+\varphi ^2}d\varphi$

К счастью, этот интеграл — табличный — а, точнее, частный случай табличного (таблицу интегралов, содержащую его, можно найти тут) и равен:

$L=\alpha (\pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\frac{\ln (2\pi + \sqrt{1+4\pi ^2})}{2})$

[свернуть]

Обычное задание:

Дана функция в виде $y=f(x)$ .

$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1+(y’)^{2}}dx$

Пример:

Спойлер

Найти длину графика функции $y=x^\frac{3}{2}$ на отрезке $[0;4]$

Мы получаем интеграл:

$L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+(y’)^2}dx$

$L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$

Делаем небольшую замену переменной:

$q=\frac{9}{4}x+1; dq=\frac{9}{4}dx$

$L=\frac{4}{9}\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}d(1+\frac{9}{4}x)$

$L=\frac{4}{9}\int_{1}^{10} \sqrt{q}dq$

И решаем образовавшийся интеграл:

$L=\frac{4}{9}*\frac{2}{3}q^{\frac{3}{2}}|^{10}_{1}$

$L=\frac{8}{27}*(10\sqrt{10}-1)$

[свернуть]

Почему эти формулы верны?

Спойлер

Здесь мы доказываем, что верна формула $L'(t)=\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}$ .
Затем мы избавляемся от производной длины кривой:

$L=\int \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}dt$

Затем находим длину кривой между двумя точками:

$L=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}dt$ , где $t_1$ и $t_2$ — координаты $t$ точек, ограничивающих часть кривой.

И дальше приспосабливаем последнюю формулу под обычный и полярный способы задания функций.

[свернуть]

Источники:

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г., том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.

Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Определения

Путем на плоскости называется отображение $t \mapsto (\varphi (t),\psi (t))$ отрезка $\left [ \alpha,\beta \right ]$ в $\mathbb{R}^{2},$ задаваемое парой непрерывных функций $\varphi$ и $\psi.$ Это означает, что каждому значению $t\in \left [ \alpha,\beta \right ]$ ставится в соответствие точка плоскости с координатами $\left ( x,y \right )$ , где $x=\varphi (t),y=\psi(t).$
След пути — множество точек $\left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.$
Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции $\varphi$ и $\psi$ непрерывно дифференцируемы на отрезке $\left [ \alpha ,\beta \right ]$ , то путь $\gamma =(\varphi ,\psi )$ называется дифференцируемым.

Теорема

Дан путь $\gamma$ : $\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\y=\psi (t) \end{matrix}\right.$

Пусть $\gamma = (\varphi ,\psi )$ непрерывно дифференцируемый путь на отрезке $\left [ \alpha ,\beta \right].$
Тогда $L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,$ где $L_{(\gamma )}$ — длина пути.

Доказательство

Часть 1

$\square$ $\Pi :\alpha =x_{0}<x_{1}< … <x_{n}=\beta$ — произвольное разбиение отрезка $\left [ \alpha ,\beta \right].$ Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
$S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}$ — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:

$x_{i+1}-x_i=\varphi ‘(t_i)(t_{i+1}-t_i);$
$y_{i+1}-y_i=\psi ‘(t_i)(t_{i+1}-t_i);$

Тогда длина ломаной будет равна: $S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi ‘(t))^{2}+(\psi ‘(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i).$
Обозначим наибольшие значения производных $\psi ‘(t)$ и $\varphi ‘(t)$ :
$L=sup(|\psi ‘(t)|)$ и $\overline{L}=sup(|\varphi ‘(t)|)$ .
Очевидно: $S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^2}(T-t_{0}),$ $T$ и $t_0$ — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
$S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^2}(T-t_{0})$ , где $l=inf(|\psi ‘(t)|), \overline{l}=inf(|\varphi ‘(t)|)$

Часть 2

У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:

$S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^{2}}(T-t_0);$
$S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^{2}}(T-t_0);$

Получаем: $\sqrt{L^2+\overline L^2}(T-t_0)\geq S\geq \sqrt{l^2+\overline l^2}(T-t_0), p=inf(S)$
А теперь возьмём точку $a_1$ на нашей дуге с координатами $(t_1,y_1)$ . Придадим её абсциссе приращение $\Delta t$ и получим точку $a_2(t_1+\Delta t, y_2)$ . Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При $\Delta t \rightarrow 0$ левая часть стремится к $\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t.$ Аналогично, для правой.
Получаем $\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t\geq S\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t$ . Преобразуем это двойное неравенство:
$\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\geq \frac{S}{\Delta t}\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}.$
$L^{‘}_{(\gamma )}=\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+((\psi ‘(t))^2}.$
Тогда $L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,$ где $L_{(\gamma )}$ — длина пути. $\blacksquare$

Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.

Следствия из теоремы

Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.

Литература:

Тест

Таблица лучших: Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

максимум из 9 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: ломаная

8.3 Длина пути

Примеры решения задач

Вычисление пути и его длины.

Параметрическое задание:

Полярное задание:

Пример:

Обычное задание:

Пример:

Почему эти формулы верны?

Источники:

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Определения

Теорема

Доказательство

Часть 1

Часть 2

Следствия из теоремы

Литература:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Тест

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Подсказка

6.

7.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Средний результат
Ваш результат