Определение:

Пусть функция $latex f$ определена в некоторой окрестности точки $latex x_0$ и пусть существует конечный предел отношения
$latex \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}<\infty$
Тогда этот предел называют производной функции $latex f$ в точке $latex x_0$ и обозначают:
$latex f'(x_0)$ или $latex y'(x_0)$ или $latex \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$ или $latex \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$.
$latex f'(x_0)= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ называется приращением функции в точке $latex x_0$
$latex \Delta x=x-x_0$ называется приращением аргумента в точке $latex x_0$.

Примеры:

1. $latex y=C => \Delta y=C-C=0 => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0 => C’=0;$
2. $latex y=\sin x => \Delta y= \sin (x+\Delta x)-\sin x=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}$$latex =>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=1; \sin x \sim x, x \to 0]=\cos\underset{\Delta x \to 0}{(x+\frac{\Delta x}{2})}=\cos x => (\sin x)’=\cos x;$
3. $latex y=\cos x => \Delta y =\cos (x+ \Delta x)-\cos x= -2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})$ $latex => \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=-\sin x => (\cos x)’ = -\sin x;$
4. $latex y=a^x => \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x =>$$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=[a^x-1\sim x, x\to 0]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(\Delta x\mathrm{ln}a)}{\Delta x}=a^x\mathrm{ln}a => (a^x)’=a^x\mathrm{ln}a;
   (e^x)’=e^x;$
5. $latex y=\log_a x=> \Delta y=\log_a (x+\Delta x) — \log_a x => $$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (\frac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=[\log_a x \sim \frac{x}{\ln a}, x \to 0]=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln a}}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a} => (\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a};
   (\ln x)’=\frac{1}{x};$
6. $latex y=x^\alpha => \Delta y = (x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$ = $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^\alpha(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$=$latex x^\alpha \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}$=$latex [(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x, x\to 0; (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1\sim\alpha\frac{\Delta x}{x}]$=$latex x^\alpha\cdot\alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} => (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha -1}$

Практические примеры:

$latex (5)’=0;$
$latex (2^x)’=2^x\ln 2;$
$latex (\log_3 x)’=\frac{1}{x \ln 3};$
$latex (x^5)’=5x^4;$

Определение производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Определение производной» и на понимание примеров к ней.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Дана функция $latex f(x)$. В каких видах можно записать ее производную в точке $latex x_0$?

   • $$f'(x_0)$$
   • $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$$
   • $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
   • $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}$$
   • $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}f}_{x\to x_0}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Тест на понимание примеров
   Соотнесите функции и их производные

   Элементы сортировки

   • $$0$$
   • $$\alpha x^{\alpha-1}$$
   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$a^x\ln a$$
   • $$\cos x$$

   • $$C$$

   • $$x^\alpha$$

   • $$\ln x$$

   • $$a^x$$

   • $$\sin x$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Используя производные из примеров, вычислите следующие производные в точке $latex x_0$  (сначала вычислите производную, а потом подставьте $latex x_0$) и расставьте их по убыванию.

   • $$x^3, x_0=2$$
   • $$2^x, x_0=e$$
   • $$\sin x, x_0=0$$
   • $$\ln x, x_0=2$$
   • $$235, x_0=11$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   В выражении $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

   • Δx мы называем (приращением) (аргумента) в точке x₀.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Какое из следующих утверждений неверно?

   • Производная может равняться нулю.
   • У функции синуса нет производной.
   • Производную можно записать в виде предела отношения приращения функции к приращению аргумента.
   • В этом тесте есть неверные утверждения.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).
   

Рекомендуемая к прочтению литература:

• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (том 1), 1968, глава 5, § 1, с. 143-149

Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $latex \frac{0}{0} $ или $latex \frac{\infty}{\infty} $ Правило позволяет заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю.

Условия:

1. $latex f(x) &s=1$ и $latex g(x) &s=1$ дифференцируемы в проколотой окрестности точки $latex a $
2. $latex \lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0 &s=1$
3.  $latex g'(x) \neq 0 &s=1$ в проколотой окрестности точки $latex a $
4. Существует  $latex \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$

Вывод: Тогда существует  $latex \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$

Доказательство: Доопределим функции в точке $latex a $ нулём. Из 1 условия следует, что $latex f(x) $ и  $latex g(x) $ непрерывны на отрезке $latex [a,x] $, где $latex x $ принадлежит рассматриваемой окрестности точки $latex a $. Применим обобщённую формулу конечных приращений (Коши) к $latex f(x) $ и  $latex g(x) $ на отрезке $latex [a,x] $ $latex \exists \xi\in [a,x]:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}&s=1 $ Так как $latex f(a)=g(a)=0 $  получим, что $latex \forall x $ $latex \exists \xi \in [a,x]:\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} &s=1$ Пусть предел отношения производных равен $latex A $. Следовательно: $latex \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))}=\lim\limits_{y \to a} \frac{f'(y)}{g'(y)}=A &s=1$, так как $latex \lim\limits_{x \to a} \xi(x)=a &s=1$

2. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны бесконечности.

Условия:

1. $latex f(x) $ и $latex g(x) $ дифференцируемы при $latex x>a $
2. $latex \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\infty &s=1$
3. $latex g'(x)\neq 0 $ при $latex x>a $
4. Существует конечный $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A &s=1$

Вывод: Тогда существует $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$ Доказательство: Из условия 2 следует, что $latex \exists a_{1}>a:\forall x>a_{1} \to |f(x)|>1,|g(x)|>1 $, и поэтому $latex f(x)\neq 0,g(x)\neq0 $ при $latex x>a_{1} $. По определению предела (условие 4) для заданного числа $latex \varepsilon >0 $ можно найти $latex \delta_{1}=\delta_{1}(\varepsilon)\geq a_{1} $ такое, что для всех $latex t>\delta_{1} $ выполняется неравенство: $latex A-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{f'(t)}{g'(t)}<A+\frac{\varepsilon}{2} &s=1$ Фиксируя $latex x_{0}>\delta_{1} $ выберем, пользуясь условием 2 число $latex \delta_{2}>x_{0} $

такое, чтобы при всех $latex x>\delta_{2} $ выполнялись неравенства: $latex \left |\frac{f(x_{0})}{f(x)}<\frac{1}{2}\right | &s=1$  и  $latex \left |\frac{g(x_{0})}{g(x)}<\frac{1}{2}\right | &s=1$ Для доказательства теоремы нужно доказать, что существует такое $latex \delta $, что при всех $latex x>\delta $ выполняется неравенство: $latex A-\varepsilon<\frac{f(x)}{g(x)}<A+\varepsilon (*) &s=1$ Число $latex \delta $ будет выбрано ниже. Считая, что $latex x>\delta $, применим к функциям $latex f $ и $latex g $ на отрезке $latex [x;x_{0}] $  обобщённую формулу конечных приращений (Коши). $latex \exists \xi \in [x_{0};x]: \frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} &s=1$ Преобразуем левую часть неравенства: $latex \frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f(x)}{g(x)}(\varphi(x))^{-1} &s=1$, где $latex \varphi(x)=\frac{1-\frac{g(x_{0})}{g(x)}}{1-\frac{f(x_{0})}{f(x)}}=1+\beta(x) &s=1$ Заметим, что $latex \beta(x)\to0 $ при $latex x\to+\infty $ в силу условия 2, поэтому $latex \forall \varepsilon>0 \exists \delta\geq\delta_{2}: $ $latex \forall x>\delta\to|\beta(x)|<\frac{\frac{\varepsilon}{2}}{|A|+ \frac{\varepsilon}{2}}(**) &s=1$ Так как  $latex \xi>x_{0}>\delta_{1} $, то для всех $latex x>\delta_{2} $  выполняется неравенство: $latex A-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{f(x)}{g(x)} (\varphi(x))^{-1}<A+\frac{\varepsilon}{2} &s=1$ Если $latex x>\delta $, то $latex \varphi(x)>0 $, и поэтому неравенство равносильно следующему: $latex (A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))< $ $latex \frac{f(x)}{g(x)}<(A+\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x)) &s=1$ Используя неравенство $latex (**) $, получаем: $latex (A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))=$ $latex A-\frac{\varepsilon}{2}+(A-\frac{\varepsilon}{2})\beta(x) \geq $ $latex (A-\frac{\varepsilon}{2})-&s=1-(|A|+\frac{\varepsilon}{2})|\beta(x)|> $ $latex A-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2}=A-\varepsilon &s=1$ Аналогично находим: $latex (A+\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))\leq $ $latex A+\frac{\varepsilon}{2}+(|A|+\frac{\varepsilon}{2})|\beta(x)|< A+\varepsilon &s=1$

Таким образом для всех $latex x>\delta $ выполняется  неравенство $latex (*) $, а это означает, что справедливо утверждение: $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$

Примеры:

Пример 1. Найти $latex \lim\limits_{x \to 1}\frac{3x^{10}-2x^{5}-1}{x^{3}-4x^{2}+3} &s=1$ Обозначим $latex f(x)=3x^{10}-2x^{5}-1 $ , $latex g(x)=x^{3}-4x^{2}+3 $. Так как  $latex \lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}g(x)=0 $, воспользуемся правилом Лопиталя для ситуации $latex \frac{0}{0} $. $latex f'(x)=30x^{9}-10x^{4} $, $latex f'(1)=20 $ $latex g'(x)=3x^{2}-8x $, $latex g'(1)=-5 $ По доказанной теореме: $latex \lim\limits_{x\to1}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to1}\frac{f'(x)}{g(x’)}=\frac{20}{-5}=-4 &s=1$

Ответ: -4.

Пример 2. Доказать, что [latex] \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}}=0,\alpha>0 [/latex]

Применяя правило Лопиталя для ситуации $latex \frac{\infty}{\infty} $, получим: [latex]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}}=[/latex][latex]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\alpha x^{\alpha-1}}=[/latex][latex] \lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\alpha x^{\alpha}}=0[/latex]

Доказано.

Источники:

1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §19 с. 172-175

Тест на знание правила Лопиталя

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 10 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10

Информация

Пройдите короткий тест для закрепления материала.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 10

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 13 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 10

   1.

   Для каких случаев было выше доказано правило Лопиталя?

   • Для раскрытия неопределённостей вида $ \frac{0}{0}$
   • Для раскрытия неопределённостей вида $ \frac{\infty}{\infty}$
   • Для раскрытия неопределённостей вида $ \frac{0}{\infty}$
   • Для раскрытия неопределённостей вида $ \frac{\infty}{0}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 10

   2.

   
   Какое утверждение необходимо доказать для доказательства теоремы (для случая $ \frac{\infty}{\infty} $)?

   • $ A- \varepsilon < \frac{f(x)}{g(x)} < A+\varepsilon $
   • $ \left |\frac{f(x_{0})}{f(x)}<\frac{1}{2}\right| $
   • $\left |\frac{g(x_{0})}{g(x)}<\frac{1}{2}\right | $
   • $ \exists \xi \in [x_{0};x]: \frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 10

   3.

   Какое из условий не принадлежит формулировке теоремы для случая $latex \frac{0}{0} $?

   1. $latex f(x) $ и $latex g(x) $ дифференцируемы в проколотой окрестности точки  
   2. $latex \lim\limits_{x\to a}f(x) = \lim\limits_{x\to a} g(x) = 0 $
   3. $latex g'(x) \neq 0 $ при $latex x>a $
   4. Существует  $latex \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $

   • 1
   • 2
   • 3
   • 4
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 10

   4.

   Какая теорема применяется при доказательстве раскрытия неопределённости вида $latex \frac{0}{0} $?

   • Теорема Ферма.
   • Теорема Кантора-Бернштейна.
   • Обобщённая формула конечных приращений Коши.
   • Формула Ньютона-Лейбница.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 10

   5.

   В процессе доказательства теоремы для раскрытия неопределённости вида $latex \frac{0}{0} $ $latex \xi $ рассматривается нами как…

   • Функция от $ x$.
   • Функция многих переменных.
   • Булева функция.
   • Коэффициент пропорциональности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 10

   6.

   В доказательстве теоремы для случая $latex \frac{\infty}{\infty}$ утверждение , что  $latex \exists a_{1} > a : \forall x>a_{1} \to |f(x)|>1 , |g(x)|>1 $ следует из условия о…

   • Дифференцируемости рассматриваемых функций.
   • Неравенстве нулю значения функции $ g(x)$ для $x>a$
   • Равенстве бесконечности пределов рассматриваемых функций при бесконечно больших аргументах.
   • Существовании конечного предела отношения производных рассматриваемых функций.
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 10

   7.

   Правило Лопиталя позволяет заменить предел отношения функций …

   • Пределом отношения (производных) функций.
   Правильно
   

   Неправильно
   
8. Задание 8 из 10

   8.

   
   $latex \lim\limits_{x \to 2}\frac{\sqrt{7+x}-3}{x-2}=? $

   • $ \frac{1}{6} $
   • $ \frac{0}{0} $
   • $ 6 $
   • $ \frac{2}{3} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
9. Задание 9 из 10

   9.

   
   $latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^{2}}{2^{x}} &s=1$

   • $ \infty $
   • $ 0 $
   • $ \frac{1}{2} $
   • $ \frac{\infty}{\infty} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
10. Задание 10 из 10

    10.

    Сколько условий должно выполняться для применения правила Лопиталя?

    • 1 2 3 4

    Правильно
    

    Неправильно
    

Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти $latex I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx$. Сделав подстановку

будем иметь

2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену

будем иметь

Литература

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое ([latex]O[/latex] и [latex]o[/latex]).

Определение:

Пусть $latex f(x)$ и $latex g(x)$ — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$, причем в этой окрестности $latex g$ не обращается в ноль. Говорят, что:

• $latex f$ является «О» большим от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$, если существует такая константа $latex C>0$, что для всех $latex x$ из некоторой окрестности точки $latex x_0$ имеет место неравенство $latex |f(x)| \leq C |g(x)|$;
• $latex f$ является «о» маленьким от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$, если для любого $latex \varepsilon >0$ найдется такая проколотая окрестность $latex U’_{x_0}$ точки $latex x_0$, что для всех $latex x \in U’_{x_0}$ имеет место неравенство $latex |f(x)|<\varepsilon|g(x)|$.

Иначе говоря, в первом случае отношение $latex |f|/|g|$ в окрестности точки $latex x_0$ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при $latex x\to x_0$, то есть функция $latex f$ является бесконечно малой в сравнении с $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;$
$latex \sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;$
$latex -x^3={O(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; $ а функция $latex -x^2$ ограничена сверху в окрестности точки 0.
$latex \sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x;$ а функция $latex \sin x$ всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций $latex f=f(x),\:g=g(x)$ и $latex x \epsilon \mathbb{R}$ справедливы равенства:

1. $latex o(f)+o(f)=o(f);$
2. $latex o(f)$ тем более есть $latex O(f);$
3. $latex o(f)+O(f)=O(f);$
4. $latex O(f)+O(f)=O(f);$
5. $latex \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)})$ и $latex \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}),$ если $latex g\neq 0;$ 
6. $latex o(o(f))=o(f);$
7. $latex o(Cf)=o(f);$
8. $latex C\cdot o(f)=o(f);$
9. $latex o(f+o(f))=o(f);$
10. $latex o(f)\pm o(f)=o(f);$
11. $latex o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};$
12. $latex (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N}$ .

Примеры:

$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$.

Символ Ландау

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Символ Ландау»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из следующих символов являются символами Ландау?

   • $$O$$
   • $$o$$
   • $$L$$
   • $$\bigodot$$
   • $$\Lambda$$
   • $$\sigma$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   $latex f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$
   Какое из следующих утверждений всегда верно для отношения $latex \frac{f}{g}$ в окрестности точки $latex x_0$?

   • Это отношение ограничено сверху в окрестности этой точки.
   • Это отношение ограничено сверху и больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к нулю в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к бесконечности в окрестности этой точки.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вопрос на знание свойств
   $latex o(f)$ тем более есть …
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны две функции $latex f$ и $latex g$.
   $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$

   • Тогда мы можем говорить, что функция f является (бесконечно) (малой) в сравнении с функцией g.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вопрос на знание свойств
   Соотнесите следующие выражения с ответом.

   Элементы сортировки

   • $$o(f)+O(f)$$
   • $$o(f+o(f))$$
   • $$(o(f))^n$$
   • $$o(f^n)\cdot o(f^m)$$

   • $$O(f)$$

   • $$o(f)$$

   • $$o(f^n)$$

   • $$o(f^{n+m})$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «О большое и о малое»
   
3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (часть 1), 2009, параграф 4.12, с.103-104

1. Задача о скорости
   

   Пусть точка движется по прямой. $latex S=S(t)$ — путь пройденый точкой за время $latex t$ от начала движения. Путь пройденный точкой за время от $latex t$ до $latex t+\Delta t =$ $latex S(t+\Delta t) — S(t)$ .
   
   Средняя скорость: $latex V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$
   Если движение точки — равномерное, то $latex V_{cp}$ — постоянная.
   Если же движение неравномерное, то $latex V_{cp}$ не меняется при изменении $latex \Delta t$ .
   Определение:
   Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент $latex t$: $latex V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ .

2. Задача о касательной
   

   Пусть функция $latex f$ определена в $latex \delta$-окрестности точки $latex x_0$ и непрерывна в этой окрестности.
   
   Возьмем две точки на графике: $latex M_0 (x_0;y_0)$ и $latex M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$ .
   Уравнение прямой, проходящей через точки $latex M$ и $latex M_0$ имеет вид $latex y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)$, где $latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, $latex \Delta x=x-x_0$.
   $latex \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha$
   Эту прямую называют секущей, а число $latex k=\tan \alpha$ — угловым коэффициентом секущей.
   $latex \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$
   Определение:
   Касательной кривой заданной уравнением $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ называют предельное положение секущей при $latex \Delta x \to 0$.
   Если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0$, то существует предельное положение секущей.
   Таким образом, если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$, то прямая, проходящая через точку $latex M_0$ с угловым коэффициентом $latex k_0$ называется касательной к графику функции $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие задачи рассматривались в данной теме?

   • Задача о скорости
   • Задача о касательной
   • Задача о круге
   • Задача об ускорении
   • Задача о давлении
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Скорость точки в момент t называют …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Верно ли следующее утверждение?

   В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения аргумента к приращению функции.

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Нет, наоборот.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Сопоставьте следующие термины с задачами, в которых они использовались.

   Элементы сортировки

   • Мгновенная скорость
   • Угловой коэффициент секущей
   • Ускорение

   • Задача о скорости

   • Задача о касательной

   • Не использовался

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вопрос на знание задач

   • В задаче о касательной число k=tan α называют (угловым) (коэффициентом) касательной.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).
   

Рекомендуемая к прочтению литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 3, §1, с. 186-189