Определение:
Если в некоторой проколотой окрестности точки latexx0 определены функции latexf,g и latexα, такие, что имеют место соотношения latexf(x)=g(x)α(x),limx→x0α(x)=0, то функцию latexf называют бесконечно малой функцией в сравнении с latexg при latexx→x0 и пишут latexf=o(g)x→x0;f(x)=o(g(x))x→x0 .
Замечание:
Если latex∀xϵUδ(x0):g(x)≠0, то latexlimx→x0f(x)g(x=limx→x0α(x)=0 .
Примеры:
latexx2=o(x4)x→∞, т.к. latexlimx→∞x2x4=limx→∞1x2=0
latexlimx→∞sinxx=0:sinx=o(x)x→∞
latexlimx→∞arctanxx=0:arctanx=o(x)x→∞.
Определение:
- В случае, когда в записи latexf=o(g)x→x0 latexg — бесконечно малая функция, говорят, что latexf — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем latexg, latexg — бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем latexf.
- В случае, когда в записи latexlimx→x0f(x)g(x)=a,a<∞,a≠0, latexf и latexg — бесконечно малые функции при latexx→x0, говорят, что latexf и latexg являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
- В случае, когда в записи latexlimx→x0f(x)gm(x)=a,a<∞,a≠0 latexg — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция latexf имеет latexm-й порядок малости относительно функции latexg.
Примеры:
latexx2=o(x)x→0, т.к. latexlimx→0x2x=limx→0x=0. latexx2 — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем latexx;
latexx3sin1x=o(x)x→0; т.к. latexlimx→0x3sin1xx=limx→0x2sin1x=0 (т.к. latexsin1x — ограниченная функция). latexx3sin1x — функция более высокого порядка малости, чем latexx;
latextan2x=o(x)x→0, т.к. latexlimx→0tan2xx=limx→0tanx=0. latextan2x — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем latexx;
latexlimx→0tanxx=1. Функции latextanx и latexx являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
latexlimx→0tan6xx6=1. latextan6x имеет 6-й порядок малости относительно latexx.
Бесконечно малая функция в сравнении с другой
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Нет рубрики 0%
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Какие из этих функций являются бесконечно малыми в сравнении с latexg(x)=x при latexx→+0?
Правильно
Все правильно.
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Функция latextan4x⋅sin5x⋅ln2(1+x) является бесконечно малой функцией при latexx→0 какого порядка малости относительно latexx?
Правильно
Верно, latexlimx→0tan4x⋅sin5⋅ln2(1+x)x11=limx→0x11x11=1.
Неправильно
-
Задание 3 из 5
3.
latexf и latexg — бесконечно малые функции при latexx→x0.
Равносильны ли следующие два утверждения?- latexf является бесконечно малой функцией 1-го порядка малости относительно latexg при latexx→x0;
- latexf и latexg являются бесконечно малыми функциями одинакового порядка малости при latexx→x0.
Правильно
Верно.
Неправильно
Неправильно, оба этих утверждения можно записать в виде latexlimx→0f(x)g1(x)=a,a<∞,a≠0.
-
Задание 4 из 5
4.
Даны бесконечно малые функции latexf,g при latexx→x0.
Имеет ли смысл следующее утверждение?latexf(x)=o(g(x))x→x0,g(x)=o(f(x))x→x0
Правильно
Правильно, по определению выходит, что latexf(x)=g(x)α(x),limx→x0α(x)=0 и latexg(x)=f(x)β(x),limx→x0β(x)=0 => latexf(x)=f(x)α(x)β(x)=>1=α(x)β(x), но при latexx→x0α(x)=0,β(x)=0=>1=0⋅0,x→x0=> противоречие.
Неправильно
Неверно, по определению выходит, что latexf(x)=g(x)α(x),limx→x0α(x)=0 и latexg(x)=f(x)β(x),limx→x0β(x)=0 => latexf(x)=f(x)α(x)β(x)=>1=α(x)β(x), но при latexx→x0α(x)=0,β(x)=0=>1=0⋅0,x→x0=> противоречие.
-
Задание 5 из 5
5.
Расставьте следующие функции по УБЫВАНИЮ порядка малости относительно latexx,x→0.
-
tan6x√sin5x
-
tan6x√sin5√x
-
x3√sin2xtan4x
-
ln2(1+x)
-
ln(1+x)2
-
√x
Правильно
Неправильно
-
Источники:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
- Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»
Рекомендуемая к прочтению литература:
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 2, §3, с. 136-137