Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$ определены функции $latex f,g$ и $latex \alpha$, такие, что имеют место соотношения $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$, то функцию $latex f$ называют бесконечно малой функцией в сравнении с $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}$ .

Замечание:

Если $latex \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0$, то $latex \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ .

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}$, т.к. $latex \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0$

$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$
$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$.

Определение:

В случае, когда в записи $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$ $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что $latex f$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex g$, $latex g$ — бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем $latex f$.

В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$, $latex f$ и $latex g$ — бесконечно малые функции при $latex x\to x_0$, говорят, что $latex f$ и $latex g$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$ $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция $latex f$ имеет $latex m$-й порядок малости относительно функции $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0$. $latex x^2$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)};$ т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$ (т.к. $latex sin \frac{1}{x}$ — ограниченная функция). $latex x^3 sin\frac{1}{x}$ — функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0$. $latex \tan^2 x$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$. Функции $latex \tan x$ и $latex x$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1$. $latex \tan^6 x$ имеет 6-й порядок малости относительно $latex x$.