Задача из журнала «Квант» (1984 год, 1 выпуск)

Условие

Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.

1. Докажите, что три красных четырехугольника на этом рисунке также равновелики.
2. Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.

Решение

Нам понадобится следующая часто применяемая

Лемма. Пусть $Р$ — точка на стороне $KL$ треугольника $KLM$. Тогда отношение площадей треугольников и равно $$S_{MKP}:S_{MPL}=|KP|:|PL|.$$ (Для доказательства достаточно заметить, что треугольники $MKP$ и $MPL$ имеют общую высоту проведенную из вершины $М$ (рис. 2).).

1. Введем обозначения, как  на рисунке 1. Заметим, что треугольники $AA_0C_0$ и $AA_0C_1$ равновелики (каждый из них составлен из треугольника $AA_0B_0$ и одного из из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание $AA_0$, поэтому их вершины $C_0$ и $C_1$ равноудалены от прямой $AA_0$, то есть прямые $AA_0$ и $C_1C_0$ параллельны. Аналогично, $BB_0||A_1A_0$ и $CC_0||B_1B_0$. Рассмотрим трапецию $AA_0C_0C_1$ (рис. 3). Её диагонали пересекаются в точке $B_0$, а продолжения боковых сторон — в точке $B$. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины $D$ и $E$ её оснований $AA_0$ и $C_1C_0$. (Действительно, $B_0$ — центр гомотетии треугольников $B_0AA_0$ и $B_0C_0C_1$, а $B_0$ — центр гомотетии треугольников $BAA_0$ и $BC_1C_0$). А поскольку эта прямая параллельна $A_1A_0$, точка $B_0$ — середина отрезка $A_1A$. По лемме отсюда вытекает,что $S_{AB_0C}=S_{B_0A_1C}$. Следовательно (см. рис. 1), площади четырехугольников $AB_0A_0B_1$ и $CA_0C_0A_1$ равны. Аналогично доказывается, что и третий красный четырехугольник $BC_0B_0C_1$ имеет такую же площадь.

   Подумайте, останется ли верным утверждение этого пункта задачи, если потребовать равенства площадей только трех угловых синих треугольников.

2. Площадь красного четырехугольника $s=1+\sqrt{5}$. Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади $s$, выразим двумя способами отношение $|BC_1|:|C_1A|$ с помощью леммы:$$|BC_1|:|C_1A|=S_{CBC_1}:S_{CC_1A}=(2s+2):(s+2)=S_{B_0BC_1}:S_{B_0C_1A}=(s/2):1.$$
   (Пояснения здесь требуют только равенство $S_{B_0BC_1}$. Как было показано выше, точка $E$ — середина $C_0C_1$ (рис. 3). Отсюда, опять-таки пользуясь леммой, легко вывести, что треугольники $B_0BC_1$ и $B_0BC_0$ равновелики. А вместе они составляют четырехугольник $BC_0B_0C_1$ площади $s$). Итак, $s$ удовлетворяет уравнению $$s^2-2s-4=0.$$ откуда $s=1+\sqrt{5}$.

Б. И. Чиник, В. Н. Дубровский

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 3 выпуск)

Условие

Час назад каждый брат в семье был в ссоре с одинаковым количеством сестер, а каждая сестра – с различным количеством братьев. Сейчас некоторые из них помирились, и каждая сестра в ссоре с одинаковым количеством братьев, а каждый брат – с различным количеством сестер. Сколько сестер и братьев в этой беспокойной семье?

Решение

Обозначим через $n$ количество братьев, через $m$ – количество сестер; пусть до примирения каждый брат был в ссоре с $k$ сестрами. Из условия задачи следует, что $n \leqslant 2$, $m \leqslant 3$ . Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений.

$\textbf{1°}. m \leqslant n$.

Пронумеруем сестер по возрастанию количества ссор с братьями. Пусть первая сестра час назад была в ссоре с $a_1$ братьями, вторая – с $a_2$ братьями, $\ldots$,  $m$-я – с $a_m$ братьями, причем\begin{equation}\label{m1719_first} a_1\lt a_2\lt\ldots \lt a_m \leqslant n.\end{equation}Поскольку после примирения каждая сестра оставалась в ссоре с одинаковым количеством братьев, то
\begin{equation}\label{m1719_second}1\leqslant a_1.\end{equation}Из $(1)$ и $(2)$ следует утверждение $1°$.

$\textbf{2°}. k \lt m$.

Поскольку $a_i \lt n$ для всех $i \lt m$, то $$nk=\sum\limits_{i=1}^ma_i \lt nm,$$ откуда следует утверждение $2°$.

$\textbf{3°}. k \geqslant n − 1$.

Пронумеруем братьев по возрастанию количества ссор после примирения. Пусть первый брат после примирения остался в ссоре с $b_1$ сестрами, второй брат – с $b_2$ сестрами, $\ldots$, $n$-й брат – с $b_n$ сестрами, причем $$ 0\leqslant b_1 \lt b_2 \lt b_3 \lt \ldots \lt b_n \leqslant k.$$ Сначала получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ сверху, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}b_n \leqslant k,\\b_{n-1}\leqslant k-1,\\ \ldots \\b_1\leqslant k-(n-1);\end{cases}\end{equation*}$$отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_third}\sum\limits_{i=1}^nb_i\leqslant kn-\frac {n(n-1)}{2}.\end{equation}$$Аналогично получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ снизу, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}0 \leqslant b_1,\\1\leqslant b_2,\\ \ldots \\n-1\leqslant b_n;\end{cases}\end{equation*}$$отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_forth}\frac{(n-1)n}{2}\leqslant \sum\limits_{i=1}^nb_i.\end{equation}$$Объединяя неравенства $(3)$ и $(4)$, получаем$$\frac{(n-1)n}{2}\leqslant kn-\frac{n(n-1)}{2},$$откуда получаем утверждение $3°$. Результаты $1°$, $2°$, $3°$ запишем в виде цепочки$$n\geqslant m\gt k \geqslant n-1,$$откуда следует $n =m$, $k = n -1$. Для дальнейшего решения нам понадобятся следующие утверждения.

$\textbf{4°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.

Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}a_m\leqslant n,\\a_m-1\leqslant n-1,\\ \ldots \\a_1\leqslant n-(m-1),\end{cases}\end{equation*}$$находим$$nk =\sum\limits_{i=1}^ma_i\leqslant nm-\frac{m(m-1)}{2}.$$С учетом того, что $n =m$, отсюда и получаем утверждение $4°$.

$\textbf{5°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.

Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}1\leqslant a_1,\\2\leqslant a_2,\\ \ldots \\m\leqslant a_m,\end{cases}\end{equation*}$$находим$$\frac{m(m+1)}{2}\leqslant\sum\limits_{i=1}^ma_i =nk.$$ С учетом того, что $n =m$, отсюда получаем утверждение $5°$.

Итак, $k = n -1 = \dfrac{n+1}{2}$, откуда $n =3$, $m =3$, $k =2$.

Ситуация до примирения и после примирения показана
на рисунках $1$ и $2$ соответственно (дугами обозначены ссоры).

Итак, в беспокойной семейке $3$ сестры и $3$ брата. Решение единственное.

И. Акулич, А. Жуков