Processing math: 100%

М827. О равновеликих треугольниках

 

Задача из журнала «Квант» (1984 год, 1 выпуск)

Условие

Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.

  1. Докажите, что три красных четырехугольника на этом рисунке также равновелики.
  2. Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.

Решение

Нам понадобится следующая часто применяемая

Лемма. Пусть Р — точка на стороне KL треугольника KLM. Тогда отношение площадей треугольников и равно SMKP:SMPL=|KP|:|PL|. (Для доказательства достаточно заметить, что треугольники MKP и MPL имеют общую высоту проведенную из вершины М (рис. 2).).

Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
  1. Введем обозначения, как  на рисунке 1. Заметим, что треугольники AA0C0 и AA0C1 равновелики (каждый из них составлен из треугольника AA0B0 и одного из из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание AA0, поэтому их вершины C0 и C1 равноудалены от прямой AA0, то есть прямые AA0 и C1C0 параллельны. Аналогично, BB0||A1A0 и CC0||B1B0. Рассмотрим трапецию AA0C0C1 (рис. 3). Её диагонали пересекаются в точке B0, а продолжения боковых сторон — в точке B. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины D и E её оснований AA0 и C1C0. (Действительно, B0 — центр гомотетии треугольников B0AA0 и B0C0C1, а B0 — центр гомотетии треугольников BAA0 и BC1C0). А поскольку эта прямая параллельна A1A0, точка B0 — середина отрезка A1A. По лемме отсюда вытекает,что SAB0C=SB0A1C. Следовательно (см. рис. 1), площади четырехугольников AB0A0B1 и CA0C0A1 равны. Аналогично доказывается, что и третий красный четырехугольник BC0B0C1 имеет такую же площадь.

    Подумайте, останется ли верным утверждение этого пункта задачи, если потребовать равенства площадей только трех угловых синих треугольников.

  2. Площадь красного четырехугольника s=1+5. Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади s, выразим двумя способами отношение |BC1|:|C1A| с помощью леммы:|BC1|:|C1A|=SCBC1:SCC1A=(2s+2):(s+2)=SB0BC1:SB0C1A=(s/2):1.
    (Пояснения здесь требуют только равенство SB0BC1. Как было показано выше, точка E — середина C0C1 (рис. 3). Отсюда, опять-таки пользуясь леммой, легко вывести, что треугольники B0BC1 и B0BC0 равновелики. А вместе они составляют четырехугольник BC0B0C1 площади s). Итак, s удовлетворяет уравнению s22s4=0. откуда s=1+5.
  3. Б. И. Чиник, В. Н. Дубровский

М1776. Беспокойная семейка

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 3 выпуск)

Условие

Час назад каждый брат в семье был в ссоре с одинаковым количеством сестер, а каждая сестра – с различным количеством братьев. Сейчас некоторые из них помирились, и каждая сестра в ссоре с одинаковым количеством братьев, а каждый брат – с различным количеством сестер. Сколько сестер и братьев в этой беспокойной семье?

Решение

Обозначим через n количество братьев, через m – количество сестер; пусть до примирения каждый брат был в ссоре с k сестрами. Из условия задачи следует, что n2, m3 . Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений.

.mn.

Пронумеруем сестер по возрастанию количества ссор с братьями. Пусть первая сестра час назад была в ссоре с a1 братьями, вторая – с a2 братьями, m-я – с am братьями, причемa1<a2<<amn.Поскольку после примирения каждая сестра оставалась в ссоре с одинаковым количеством братьев, то
1a1.Из (1) и (2) следует утверждение 1°.

.k<m.

Поскольку ai<n для всех i<m, то nk=mi=1ai<nm, откуда следует утверждение 2°.

.kn1.

Пронумеруем братьев по возрастанию количества ссор после примирения. Пусть первый брат после примирения остался в ссоре с b1 сестрами, второй брат – с b2 сестрами, , n-й брат – с bn сестрами, причем 0b1<b2<b3<<bnk. Сначала получим оценку для суммы ni=1bi сверху, для чего выпишем цепочку неравенств {bnk,bn1k1,b1k(n1);отсюда ni=1biknn(n1)2.Аналогично получим оценку для суммы ni=1bi снизу, для чего выпишем цепочку неравенств {0b1,1b2,n1bn;отсюда (n1)n2ni=1bi.Объединяя неравенства (3) и (4), получаем(n1)n2knn(n1)2,откуда получаем утверждение 3°. Результаты 1°, 2°, 3° запишем в виде цепочкиnm>kn1,откуда следует n=m, k=n1. Для дальнейшего решения нам понадобятся следующие утверждения.

.kn+12.

Просуммировав цепочку неравенств {amn,am1n1,a1n(m1),находимnk=mi=1ainmm(m1)2.С учетом того, что n=m, отсюда и получаем утверждение 4°.

.kn+12.

Просуммировав цепочку неравенств {1a1,2a2,mam,находимm(m+1)2mi=1ai=nk. С учетом того, что n=m, отсюда получаем утверждение 5°.

Итак, k=n1=n+12, откуда n=3, m=3, k=2.

Ситуация до примирения и после примирения показана
на рисунках 1 и 2 соответственно (дугами обозначены ссоры).

Итак, в беспокойной семейке 3 сестры и 3 брата. Решение единственное.

И. Акулич, А. Жуков