Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число $latex M$ называется точной верхней гранью (границей), если:

$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \leq M;$

$latex 2)$ для $latex \forall {M}'<M: \exists {x}’ \in X:{x}’>{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

$latex M=\sup X$ ($latex M$ — супремум $latex X$).

Число $latex M$ называется точной нижней гранью (границей), если:

$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \geq M;$

$latex 2)$ для $latex \forall {M}’>M: \exists {x}’ \in X:{x}'<{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

$latex M=\inf X$ ($latex M$ — инфимум $latex X$).

(если множество $latex X$ неограничено сверху, то пишем $latex \sup{X}=+\infty;$ если множество $latex X$ неограничено снизу, то пишем $latex \sup{X}=-\infty.$)

Примечание: если $latex M$ не является точной верхней гранью множества $latex X$  и $latex \forall x \in X : x \leq M$, тогда $latex \exists {M}'<M : \forall {x}’ \in X : {x}’>{M}’;$

если $latex M$ не является точной нижней гранью множества $latex X$  и $latex \forall x \in X : x \geq M$, тогда $latex \exists {M}’>M : \forall {x}’ \in X : {x}'<{M}’.$

Примеры:

$latex 1) X=[1;2) :$

$latex \sup X=2 \notin X;$   $latex \inf X=1.$

$latex 2) X=\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};…\right\};$

$latex \sup X=\max X=\frac{1}{2} \in X;$

$latex \inf X=0 \notin X.$

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет $latex \sup$ и $latex \inf$, то он единственный.

$latex \square$ Рассмотрим для $latex \sup$.

 Пусть множество $latex X$  имеет 2 точных верхних грани:  $latex M_{1}$ и $latex M_{2}.$

Допустим $latex M_{1}<M_{2}$.

Так как $latex M_{1}<M_{2}$ и $latex M_{2}=\sup{X}$, то  $latex \exists {x}’ \in X: {x}’>M_{1}$, что противоречит тому факту, что $latex M_{1}=\sup{X}.$   $latex \blacksquare$

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

$latex 1)$ Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел $latex r$, удовлетворяющих равенству $latex r^{2}<2$.

Решим неравенство $latex r^{2}$.

$latex x \in \left (-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right )$

$latex \sup r= \sqrt{2}$ Докажем это:

$latex 1) \forall x \in r: x \leq \sqrt{2}$. Так и есть, $latex \sqrt{2}$ является верхней границей множества $latex r$.

$latex 2) \forall {M}'< \sqrt{2} : \exists {x}’ \in r:{x}’>{M}’$;

Действительно, всякие рациональные $latex x< \sqrt{2}$ (и при этом $latex x> -\sqrt{2}$) будут элементами множества $latex r$, причём $latex \forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} — x< \epsilon$. То есть какое бы рациональное число из $latex r$ мы не взяли, можно взять рациональное число из $latex r$ так, что оно будет находиться ближе к $latex \sqrt{2}$ на числовой прямой.

$latex 2)$ Пусть $latex \left \{ -x\right \}$ — множество чисел, противоположных числам $latex x \in \left \{x \right \}.$

Доказать, что $latex \inf \left \{-x \right \}= \sup\left \{x \right \}.$

$latex \square$ Пусть $latex (-x)$ — элемент из множества $latex \left \{-x \right \}$ противоположный элементу $latex x$ из множества $latex \left \{x \right \}$.

Распишем точную нижнюю грань для множества $latex \left \{-x \right \}$ по определению:

$latex 1)$ $latex \forall (-x) \in \left \{-x \right \}: (-x) \geq M;$  $latex \Rightarrow$   $latex \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$

$latex 2)$ $latex \forall {M}’>M: \exists (-{x}’) \in \left \{-x \right \} : (-{x}’)<{M}’ \Rightarrow$

  $latex \Rightarrow \forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$.

Получили:

$latex 1)$  $latex \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$

$latex 2)$  $latex \forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$.

Тоесть: $latex -M = \sup \left \{ x \right \}$  $latex \Rightarrow$  $latex M=- \sup \left \{ x \right \}$.

Так как $latex M= \inf \left \{-x \right \}$, $latex \inf \left \{-x \right \} = — \sup \left \{ x \right \}$.  $latex \blacksquare$

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

 Wikipedia

Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти $latex I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx$. Сделав подстановку

будем иметь

2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену

будем иметь

Литература

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012

www.znannya.org_Интегрирование иррациональных функций

Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, часть 1(3), О.:2009, стр.60

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$\small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$\frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Литература:

• Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
• Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

  Интегрирование рациональных функций

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 3 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  Информация

  Интегрирование рациональных функций

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Правильных ответов: 0 из 3

  Ваше время:

  Время вышло

  Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 3

     1.

     Количество баллов: 2

     Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций

     • Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
     • Разложение знаменателя на простейшие дроби.
     • Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
     • Интегрирование простейших рациональных дробей.
     Правильно
     

     Неправильно
     
  2. Задание 2 из 3

     2.

     Количество баллов: 2

     Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
     Правильно
     

     Неправильно
     
  3. Задание 3 из 3

     3.

     Количество баллов: 2

     Выбрать равенства, соответствующие интегралам

     Элементы сортировки

     • $\ln\left | x-a \right |$
     • $\frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
     • $\frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
     • $\frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
     • $\frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

     • $\int \frac{A}{x-a}dx$

     • $\int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

     • $\int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

     • $\int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

     • $\int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

     Правильно
     

     Неправильно
     

  Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных