Processing math: 100%

Метка: матрица обратная к вырожденной

Обратимость матриц

Замечание 1. Существование обратной матрицы следует из теоремы о полной линейной группе квадратных невырожденных матриц. А именно, обратная матрица — это обратный (симметрический) элемент группы.

Определение. Пусть дана матрица A∈Mn(P). Тогда матрица A−1∈Mn(P) называется правой обратной к матрице A, если выполнено условие: AA−1=E.

Определение. Пусть дана матрица A∈Mn(P). Тогда матрица A−1∈Mn(P) называется левой обратной к матрице A, если выполнено условие: A−1A=E.

Определение. Пусть дана матрица A∈Mn(P). Тогда матрица A−1∈Mn(P) называется обратной к матрице A, если выполнено условие: AA−1=A−1A=E, то есть она одновременно левая и правая обратная.

Замечание 2. Стоит заметить, что поле P — это любое числовое поле.

Замечание 3. Матрицы A и A−1 называются взаимно обратными. Матрица A называется обратимой.

Спойлер

Обратимость вырожденной матрицы. Пусть дана вырожденная матрица A∈Mn(P). Ввиду некоммутативности умножения матриц, будем говорить о правой обратной матрице, то есть AA−1=E. Так как матрица A вырожденная, то при условии существования A−1∈Mn(P), по одному из свойств умножения матриц получаем, det(AA−1)=detAdetA−1=0≠1=detE, где E — единичная матрица . Таким образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной. По тем же соображениям, вырожденная матрица не может иметь и левой обратной. Поэтому для вырожденной матрицы обратной не существует.

Обратимость невырожденной матрицы. Пусть дана A∈M0n(P) и имеет вид: A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann). Введем вспомогательно понятие: присоединенная матрица ˜A∈Mn(P) такая, что ˜A=‖Aij‖, где Aij — это алгебраические дополнения к элементу aij матрицы A, i=¯1,n и j=¯1,n. Тогда ˜A=(A11A12⋯A1nA21A22⋯A2n⋯⋯⋯⋯An1An2⋯Ann). Найдем произведение A(˜A)T и (˜A)TA, используя теорему о разложении определителя по строке или столбцу и теорему Лапласа. Получаем A(˜A)T=(˜A)TA=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann)(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann)==(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann)(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann)==detA⋅E=(detA0⋯00detA⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯detA). На местах элементов главной диагонали оказываются суммы произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, то есть detA. Остальные элементы равны нулю, по теореме о «чужих» дополнениях, в связи с тем, что на их местах оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки. Тогда можно заключить, что обратной к матрице A будет служить матрица, полученная из присоединенной матрицы ˜A путем ее транспонирования и деления всех элементов на detA, из чего следует алгоритм построения обратной матрицы. Тогда A−1=1detA(˜A)T и AA−1=A−1A=E.

Замечание 4. Из теоремы об умножении определителей получаем, что detA−1=1detA. И тут мы можем увидеть тот факт, что матрица обратная к невырожденной также невырождена.detA≠0⇒1detA≠0.

Свойства операции обращения матрицы

  1. (A−1)−1=A;
  2. (λA)−1=λ−1A−1;
  3. (AB)−1=B−1A−1;
  4. (A−1)k=(Ak)−1.

Лемма. Если матрица A∈M0n(P) обратима, то существует только одна матрица, обратная к A.

Предположим обратное. То есть ∃B,C∈M0n(P) обратные к A. Тогда AC=E=BA и B=BE=B(AC)= =(BA)C=EC=C, то есть B=C.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться обратные матрицы. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Найти матрицу обратную к данной A=(−1−4−21−11224).

    Решение

    Найдем обратную матрицу по формуле. Найдем определитель исходной матрицы, используя теорему о разложении по строке. Разложим по первой строке.detA=(−1−4−21−11224)=(−1)(−1)1+1(−1124)−4(−1)1+2(1124)−−2(−1)1+3(1−122)=−(−4−2)+4(4−2)−2(2+2)=6+8−8=6. Теперь найдем присоединенную матрицу. ˜A=(−6−24120−6−6−15). Далее транспонируем присоединенную матрицу, (˜A)T=(−612−6−20−14−65). Получаем, A−1=16(−612−6−20−14−65).

  2. Решить матричное уравнение (2437)X=(4735).

    Решение

    Уравнение имеет вид AX=B. Для решения уравнения относительно X умножим обе его части на A−1слева: A−1AX=A−1B;EX=A−1B;X=A−1B. Теперь найдем обратную к матрице A, используя формулу. detA=(2437)=14−12=2.˜A=(7−3−42),(˜A)T=(7−4−32). Таким образом, обратная матрица: A−1=(72−2−321).X=A−1B=(72−2−321)(4735)=(8292−3−112).

  3. Найти определитель матрицы обратной к матрице A, не вычисляя ее.A=(21−10314−10).

    Решение

    Ранее, в замечании 4 отмечалось, что detA−1=1detA. Тогда вычислим определитель исходной матрицы.detA=|21−10314−10|=4+12+2=18. Тогда, detA−1=118.

    Ответ: 118.

  4. Можно ли получить из матрицы A−1 матрицу B? Если можно, то укажите λ такое, что (λA)−1=B. A=(2−411),B=(14−12).

    Решение

    Из свойства 2 обратных матриц мы знаем, что (λA)−1=λ−1A−1. Найдем A−1: ˜A=(1−142), (˜A)T=(14−12), A−1=16(14−12). Видим, что (16)−1A−1=B⇒λ−1=6⇒λ=16.

    Ответ: 16.

  5. Даны матрицы A и B, найти (AB)−1.A=(2−621),B=(3822).

    Решение

    По свойству 3 обратных матриц получаем (AB)−1=B−1A−1. Тогда найдем обратные матрицы.˜A=(1−262),(˜A)T=(16−22),A−1=114(16−22).˜B=(2−2−83),(˜B)T=(2−8−23),B−1=−(110)(2−8−23).Тогда (AB)−1=B−1A−1=−(110)(2−8−23)114(16−22)==(−210810210−310)(114614−214214)=(−970135235370).

Смотрите также

  1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. — 431 с. — С. 95-98.
  2. Конспект Г.С.Белозерова. Глава 4 — 18 с. — С. 11 — 12.
  3. Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 416 с. — С. 134-137.

Обратимость матриц

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.