Пусть отображение f:E⟼Rm(E⊂Rn) дифференцируемо в точке x0∈E. Это значит, что существует такое линейное отображение A:Rn⟼Rm, что выполнимо равенство
limh→0|f(x0+h)−f(x0)−A(h)||h|=0.
Определение. Матрица линейного отображения A называется матрицей Якоби отображения f.
Матрица линейного отображения имеет вид
(a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn)
В этой матрице i-я строка состоит из чисел Ai(e1),…,Ai(en), где Ai(i=1,…,m) — компоненты линейного отображения A, а ej(j=1,…,n) — базисные векторы в пространстве Rn.
Отображение A можно представить в виде A=(A1,…,Am), где Aj=dfi(x0) линейная форма, которую ранее мы назвали производной компоненты fi в точке x0.
Ранее мы показывали, что производная действительных функций fi: E↦R(E⊂Rn) в точке x0∈E — это линейная форма, компонентами которой являются частные производные функции fi в точке x0 т.е.
dfi(x0)=(∂fi∂x1(x0),…,∂fi∂xn(x0)).
Значением этой линейной формы на векторе ej будет
dfi(x0)(ej)=∂fi∂xj(x0).
Итак, компоненты матрицы aij=Ai(ej)=dfi(x0)(ej)=∂fi∂xj(x0). Таким образом, матрицу Якоби можно переписать в следующем виде:
(∂f1∂x1(x0)∂f1∂x2(x0)…∂f1∂xn(x0)∂f2∂x1(x0)∂f2∂x2(x0)…∂f2∂xn(x0)…………∂fm∂x1(x0)∂fm∂x2(x0)…∂fm∂xn(x0)).
Другими словами, производная отображения f задаётся матрицей Якоби, у которой компонентами являются частные производные все компонент отображения f по всем переменным.
Если m=n, то получаем квадратную матрицу, определитель которой называется определителем Якоби или якобианом Jf(x0)и обозначается
Jf(x)=∂(f1,…,fn)∂(x1,…,xn)=|∂f1∂x1(x0)∂f1∂x2(x0)…∂f1∂xn(x0)∂f2∂x1(x0)∂f2∂x2(x0)…∂f2∂xn(x0)…………∂fn∂x1(x0)∂fn∂x2(x0)…∂fn∂xn(x0)|.
Замечание. Если все частные производные непрерывны, то и сам определитель Якоби является непрерывной функцией. Это очевидно.
Пример 1.Являются ли функции функционально зависимыми?
{f1=x1+x2+x3−1;f2=x1x2+x1x3+x2x3−2;f3=x21+x22+x23+3.
Решение.
D(f1,f2,f3)D(x1,x2,x3)=|111x2+x3x1+x3x1+x22x12x22x3|=
=|111x1+x2+x3x1+x2+x3x1+x2+x32x12x22x3|≡0
Так как якобиан равен нулю, то эти функции функционально зависимы. Несложно найти эту зависимость:
(f1+1)2−2(f2+2)−(f3−3)=0.
Пример 2. Для линейных функций f1=a11x1+…+a1nxn−b1,…,fm=am1x1+amnxn−bm матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:
Решение.
(a11a12…a1n…………am1am2…amn)
Если мы хотим разрешить систему f1=0,f2=0,…,fn=0 относительно x1,…,xn, то для случая m=n определитель Якоби
|a11…a1n………an1…ann|
есть определитель системы и для её разрешимости он должен быть отличен от нуля.
Пример 3. Переход элементарной площади dS=dxdy от декартовых координат (x,y) к полярным координатам (r,ϕ):
Решение.
{x=rcos(ϕ);y=rsin(ϕ).
Матрица Якоби имеет вид:
J(r,ϕ)=(∂x∂r∂x∂ϕ∂y∂r∂y∂ϕ)=(cos(ϕ)−rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ)).
Якобиан перехода от декартовых координат к полярным есть определитель матрицы Якоби:
J(r,ϕ)=detI(r,ϕ)=det(cos(ϕ)−rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ)).
Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:
dS=dxdy=J(r,ϕ)drdϕ=rdrdϕ.
Пример 4.Переход элементарного объёма dV=dx dy dz от декартовых координат (x,y,z) к сферическим координатам (r,θ,ϕ) :
Решение.
{x=rsin(θ)cos(ϕ);y=rsin(θ)sin(ϕ);z=rcos(θ).
Матрица Якоби имеет следующий вид: I(r,θ,ϕ)=(∂x∂r ∂x∂θ ∂x∂ϕ∂y∂r ∂y∂θ ∂y∂ϕ∂z∂r ∂z∂θ ∂z∂ϕ)=
=(sin(θ)cos(ϕ)rcos(θ)cos(ϕ) −rsin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ) rcos(θ)sin(ϕ)rsin(θ)cos(ϕ)cos(θ)−rsin(θ)0).
А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим – есть определитель матрицы Якоби:
J(r,θ,ϕ)=detI(r,θ,ϕ) =
= |sin(θ)cos(ϕ)rcos(θ)cos(ϕ) −rsin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ) rcos(θ)sin(ϕ)rsin(θ)cos(ϕ)cos(θ)−rsin(θ)0|=r2sin(θ).
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
dV=dxdydz=J(r,θ,ϕ)drdθdϕ=r2sin(θ)drdθdϕ.
Матрица Якоби
Для закрепления пройденного материала предлагается пройти тест.
Список использованной литературы
- Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу.-Одесса : Астропринт, 2009. стр.309-311
- Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо. №3990.
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Том 1 / Г.М. Фихтенгольц – М.: Книга по Требованию, 2013. стр.455-456.