Processing math: 100%

13.3 Матрица Якоби

Пусть отображение f:ERm(ERn) дифференцируемо в точке x0E. Это значит, что существует такое линейное отображение A:RnRm, что выполнимо равенство
limh0|f(x0+h)f(x0)A(h)||h|=0.

Определение. Матрица линейного отображения A называется матрицей Якоби отображения f.

Матрица линейного отображения имеет вид

(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)

В этой матрице i-я строка состоит из чисел Ai(e1),,Ai(en), где Ai(i=1,,m) — компоненты линейного отображения A, а ej(j=1,,n) — базисные векторы в пространстве Rn.

Отображение A можно представить в виде A=(A1,,Am), где Aj=dfi(x0) линейная форма, которую ранее мы назвали производной компоненты fi в точке x0.

Ранее мы показывали, что производная действительных функций fi: ER(ERn) в точке x0E — это линейная форма, компонентами которой являются частные производные функции fi в точке x0 т.е.

dfi(x0)=(fix1(x0),,fixn(x0)).

Значением этой линейной формы на векторе ej будет

dfi(x0)(ej)=fixj(x0).

Итак, компоненты матрицы aij=Ai(ej)=dfi(x0)(ej)=fixj(x0). Таким образом, матрицу Якоби можно переписать в следующем виде:

(f1x1(x0)f1x2(x0)f1xn(x0)f2x1(x0)f2x2(x0)f2xn(x0)fmx1(x0)fmx2(x0)fmxn(x0)).

Другими словами, производная отображения f задаётся матрицей Якоби, у которой компонентами являются частные производные все компонент отображения f по всем переменным.

Если m=n, то получаем квадратную матрицу, определитель которой называется определителем Якоби или якобианом Jf(x0)и обозначается

Jf(x)=(f1,,fn)(x1,,xn)=|f1x1(x0)f1x2(x0)f1xn(x0)f2x1(x0)f2x2(x0)f2xn(x0)fnx1(x0)fnx2(x0)fnxn(x0)|.

Замечание. Если все частные производные непрерывны, то и сам определитель Якоби является непрерывной функцией. Это очевидно.

Пример 1.Являются ли функции функционально зависимыми?

{f1=x1+x2+x31;f2=x1x2+x1x3+x2x32;f3=x21+x22+x23+3.

Решение.

D(f1,f2,f3)D(x1,x2,x3)=|111x2+x3x1+x3x1+x22x12x22x3|=

=|111x1+x2+x3x1+x2+x3x1+x2+x32x12x22x3|0

Так как якобиан равен нулю, то эти функции функционально зависимы. Несложно найти эту зависимость:

(f1+1)22(f2+2)(f33)=0.

Пример 2. Для линейных функций f1=a11x1++a1nxnb1,,fm=am1x1+amnxnbm матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:

Решение.

(a11a12a1nam1am2amn)

Если мы хотим разрешить систему f1=0,f2=0,,fn=0 относительно x1,,xn, то для случая m=n определитель Якоби

|a11a1nan1ann|

есть определитель системы и для её разрешимости он должен быть отличен от нуля.

Пример 3. Переход элементарной площади dS=dxdy от декартовых координат (x,y) к полярным координатам (r,ϕ):

Решение.

{x=rcos(ϕ);y=rsin(ϕ).

Матрица Якоби имеет вид:

J(r,ϕ)=(xrxϕyryϕ)=(cos(ϕ)rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ)).

Якобиан перехода от декартовых координат к полярным есть определитель матрицы Якоби:

J(r,ϕ)=detI(r,ϕ)=det(cos(ϕ)rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ)).

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

dS=dxdy=J(r,ϕ)drdϕ=rdrdϕ.

Пример 4.Переход элементарного объёма dV=dx dy dz от декартовых координат (x,y,z) к сферическим координатам (r,θ,ϕ) :

Решение.

{x=rsin(θ)cos(ϕ);y=rsin(θ)sin(ϕ);z=rcos(θ).

Матрица Якоби имеет следующий вид: I(r,θ,ϕ)=(xrxθxϕyryθyϕzrzθzϕ)=

=(sin(θ)cos(ϕ)rcos(θ)cos(ϕ)rsin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)rcos(θ)sin(ϕ)rsin(θ)cos(ϕ)cos(θ)rsin(θ)0).

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим – есть определитель матрицы Якоби:

J(r,θ,ϕ)=detI(r,θ,ϕ) =

= |sin(θ)cos(ϕ)rcos(θ)cos(ϕ)rsin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)rcos(θ)sin(ϕ)rsin(θ)cos(ϕ)cos(θ)rsin(θ)0|=r2sin(θ).

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

dV=dxdydz=J(r,θ,ϕ)drdθdϕ=r2sin(θ)drdθdϕ.

Матрица Якоби

Для закрепления пройденного материала предлагается пройти тест.

Список использованной литературы

  1. Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу.-Одесса : Астропринт, 2009. стр.309-311
  2. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо. №3990.
  3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Том 1 / Г.М. Фихтенгольц – М.: Книга по Требованию, 2013. стр.455-456.

13.3 Матрица Якоби

Рассмотрим отображение f:ERm, где ERn. Оно состоит из m функций: f=(f1(x1,,xn),f2(x1,,xn),,fm(x1,,xn)), которые осуществляют отображение множества E из Rn в пространство Rm.

Предположим, что функции fk(x1,,xn), где k=¯1,m, дифференцируемы, то есть имеют частные производные по аргументам (x1,,xn):

f1x1,,fnxn,x=¯1,m.

Составим матрицу из этих частных производных по переменным x1,,xn

(f1x1f1x2f1xnf2x1f2x2f2xnfmx1fmx2fmxn)

Такая матрица называется матрицей Якоби.

Если m=n, то получаем квадратную матрицу, определитель которой называется определителем Якоби или якобианом Jf(x) и обозначается

Jf(x)=(f1,,fn)(x1,,xn)=|f1x1(x)f1x2(x)f1xn(x)f2x1(x)f2x2(x)f2xn(x)fnx1(x)fnx2(x)fnxn(x)|.

Замечание. Если все частные производные непрерывны, то и сам оределитель Якоби является непрерывной функцией.

Теорема. Якобиан тождественно равен нулю в некоторой области S:

D(f1,f2,,fn)D(x1,x2,,xn)0 при x=(x1,,xn)S

тогда и только тогда, когда между функциями f1,f2,,fn имеется функциональная зависимость в S, то есть существует функция G(y1,y2,,yn)0 такая, что

G(f1(x),f2(x),,fn(x))0 при всех x=(x1,,xn)S.

Пример 1.Являются ли функции функционально зависимыми?

{f1=x1+x2+x31;f2=x1x2+x1x3+x2x32;f3=x21+x22+x23+3.

Решение.

D(f1,f2,f3)D(x1,x2,x3)=|111x2+x3x1+x3x1+x22x12x22x3|=

=|111x1+x2+x3x1+x2+x3x1+x2+x32x12x22x3|0

Так как якобиан равен нулю, то эти функции функционально зависимы. Несложно найти эту зависимость:

(f1+1)22(f2+2)(f33)=0.

Пример 2. Для линейных функций f1=a11x1++a1nxnb1,,fm=am1x1+amnxnbm матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:

Решение.

(a11a12a1nam1am2amn)

Если мы хотим разрешить систему f1=0,f2=0,,fn=0 относительно x1,,xn, то для случая m=n определитель Якоби

|a11a1nan1ann|

есть определитель системы и для её разрешимости он должен быть отличен от нуля.

Пример 3. Переход элементарной площади dS=dxdy от декартовых координат (x,y) к полярным координатам (r,ϕ):

Решение.

{x=rcos(ϕ);y=rsin(ϕ).

Матрица Якоби имеет вид:

J(r,ϕ)=(xrxϕyryϕ)=(cos(ϕ)rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ)).
Якобиан перехода от декартовых координат к полярным есть определитель матрицы Якоби:

J(r,ϕ)=detI(r,ϕ)=det(cos(ϕ)rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ)).

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

dS=dxdy=J(r,ϕ)drdϕ=rdrdϕ.

Пример 4.Переход элементарного объёма dV=dx dy dz от декартовых координат (x,y,z) к сферическим координатам (r,θ,ϕ) :

Решение.

{x=rsin(θ)cos(ϕ);y=rsin(θ)sin(ϕ);z=rcos(θ).

Матрица Якоби имеет следующий вид: I(r,θ,ϕ)=(xrxθxϕyryθyϕzrzθzϕ)=

=(sin(θ)cos(ϕ)rcos(θ)cos(ϕ)rsin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)rcos(θ)sin(ϕ)rsin(θ)cos(ϕ)cos(θ)rsin(θ)0).

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим – есть определитель матрицы Якоби:

J(r,θ,ϕ)=detI(r,θ,ϕ) =

= |sin(θ)cos(ϕ)rcos(θ)cos(ϕ)rsin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)rcos(θ)sin(ϕ)rsin(θ)cos(ϕ)cos(θ)rsin(θ)0|=r2sin(θ).

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

dV=dxdydz=J(r,θ,ϕ)drdθdϕ=r2sin(θ)drdθdϕ.

Матрица Якоби

Для закрепления пройденного материала предлагается пройти тест.

Список использованной литературы

  1. Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу.-Одесса : Астропринт, 2009. стр.309-311
  2. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо. №3990.
  3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Том 1 / Г.М. Фихтенгольц – М.: Книга по Требованию, 2013. стр.455-456.