Метка: Матрица Якоби

Пусть отображение $f : E \longmapsto \mathbb{R}^m \left(E \subset \mathbb{R}^n \right)$ дифференцируемо в точке $x_0 \in E.$ Это значит, что существует такое линейное отображение $A : \mathbb{R}^n \longmapsto \mathbb{R}^m,$ что выполнимо равенство
$$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{|f\left(x_0 + h \right) -f\left(x_0 \right) -A\left(h \right)|}{|h|} = 0.$$

Определение. Матрица линейного отображения $A$ называется матрицей Якоби отображения $f.$

Матрица линейного отображения имеет вид

$$\begin{pmatrix} a^1_1 & a^1_2 & \ldots & a^1_n \\ a^2_1 & a^2_2 & \ldots & a^2_n & \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a^m_1 & a^m_2 & \ldots & a^m_n \end{pmatrix}$$

В этой матрице $i$-я строка состоит из чисел $A^i \left(e_1 \right), \ldots, A^i\left(e_n \right),$ где $A^i \left(i = 1, \ldots, m \right)$ — компоненты линейного отображения $A,$ а $e_j \left(j = 1, \ldots, n \right)$ — базисные векторы в пространстве $\mathbb{R}^n.$

Отображение $A$ можно представить в виде $A = \left(A_1, \ldots, A^m \right),$ где $A^j = df^i\left(x_0 \right)$ линейная форма, которую ранее мы назвали производной компоненты $f^i$ в точке $x_0.$

Ранее мы показывали, что производная действительных функций $f^i$: $E \mapsto \mathbb{R} \left(E \subset \mathbb{R^n} \right)$ в точке $x_0 \in E$ — это линейная форма, компонентами которой являются частные производные функции $f^i$ в точке $x_0$ т.е.

$$df^i\left(x_0 \right) = \left(\frac{\partial f^i}{\partial x^1}\left(x_0 \right),\ldots, \frac{\partial f^i}{\partial x^n}\left(x_0 \right) \right).$$

Значением этой линейной формы на векторе $e_j$ будет

$$df^i\left(x_0 \right)\left(e_j \right) = \frac{\partial f^i}{\partial x^j}\left(x_0 \right).$$

Итак, компоненты матрицы $a^i_j = A^i\left(e_j \right) = df^i\left(x_0 \right)\left(e_j \right) = \frac{\partial f^i}{\partial x^j}\left(x_0 \right).$ Таким образом, матрицу Якоби можно переписать в следующем виде:

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^1}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^1}{\partial x^n}(x_0) \\ \frac{\partial f^2}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^2}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^2}{\partial x^n}(x_0) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial f^m}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^m}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^m}{\partial x^n}(x_0) \end{pmatrix}.$$

Другими словами, производная отображения $f$ задаётся матрицей Якоби, у которой компонентами являются частные производные все компонент отображения $f$ по всем переменным.

Если $m = n,$ то получаем квадратную матрицу, определитель которой называется определителем Якоби или якобианом $Jf\left(x_0 \right)$и обозначается

$$Jf(x) = \frac{\partial (f_1, \ldots, f_n)}{\partial (x_1, \dots, x_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^1}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^1}{\partial x^n}(x_0) \\ \frac{\partial f^2}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial f^2}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^2}{\partial x^n}(x_0) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial f^n}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^n}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^n}{\partial x^n}(x_0) \end{vmatrix}.$$

Замечание. Если все частные производные непрерывны, то и сам определитель Якоби является непрерывной функцией. Это очевидно.

Пример 1.Являются ли функции функционально зависимыми?

\begin{cases} f_1 = x_1 + x_2 + x_3 -1; \\ f_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 -2; \\ f_3 = x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 + 3. \end{cases}

Пример 2. Для линейных функций $f_1 = a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n -b_1, \ldots , f_m = a_{m1} x_1 + a_{mn} x_n -b_m$ матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:

Пример 3. Переход элементарной площади $dS = dx\,dy$ от декартовых координат $ \left( x,y \right)$ к полярным координатам $ \left( r,\phi \right)$:

Пример 4.Переход элементарного объёма $dV$=$dx$ $dy$ $dz$ от декартовых координат $\left(x,y,z \right)$ к сферическим координатам $\left(r,\theta,\phi \right)$ :

Список использованной литературы

1. Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу.-Одесса : Астропринт, 2009. стр.309-311
2. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо. №3990.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Том 1 / Г.М. Фихтенгольц – М.: Книга по Требованию, 2013. стр.455-456.

Рассмотрим отображение $f : E \longmapsto R^m,$ где $E \subset R^n.$ Оно состоит из $m$ функций: $f = \left(f_1 \left(x_1,\ldots,x_n \right),f_2 \left(x_1,\ldots,x_n \right),\ldots,f_m \left(x_1,\ldots,x_n \right) \right),$ которые осуществляют отображение множества $E$ из $R^n$ в пространство $R^m.$

Предположим, что функции $f_k \left(x_1,\ldots,x_n \right),$ где $k = \overline{1,m},$ дифференцируемы, то есть имеют частные производные по аргументам $(x_1,\ldots,x_n):$

$\frac{\partial f_1}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f_n}{\partial x_n}, x = \overline{1,m}.$

Составим матрицу из этих частных производных по переменным $x_1,\ldots,x_n$

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

Такая матрица называется матрицей Якоби.

Если $m = n,$ то получаем квадратную матрицу, определитель которой называется определителем Якоби или якобианом $Jf(x)$ и обозначается

$$Jf(x) = \frac{\partial (f_1, \ldots, f_n)}{\partial (x_1, \dots, x_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x) \end{vmatrix}.$$

Замечание. Если все частные производные непрерывны, то и сам оределитель Якоби является непрерывной функцией.

Теорема. Якобиан тождественно равен нулю в некоторой области $\mathbb{S}$:

$\frac{D(f_1,f_2, \ldots, f_n)}{D(x_1,x_2, \ldots, x_n)} \equiv 0$ при $x = \left(x_1, \ldots, x_n \right) \in \mathbb{S}$

тогда и только тогда, когда между функциями $f_1,f_2,\ldots,f_n$ имеется функциональная зависимость в $\mathbb{S},$ то есть существует функция $G \left(y_1,y_2,\ldots,y_n \right) \not \equiv 0$ такая, что

$G \left(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x) \right) \equiv 0$ при всех $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{S}.$

Пример 1.Являются ли функции функционально зависимыми?

\begin{cases} f_1 = x_1 + x_2 + x_3 -1; \\ f_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 -2; \\ f_3 = x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 + 3. \end{cases}

Пример 2. Для линейных функций $f_1 = a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n -b_1, \ldots , f_m = a_{m1} x_1 + a_{mn} x_n -b_m$ матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:

Пример 3. Переход элементарной площади $dS = dx\,dy$ от декартовых координат $ \left( x,y \right)$ к полярным координатам $ \left( r,\phi \right)$:

Пример 4.Переход элементарного объёма $dV$=$dx$ $dy$ $dz$ от декартовых координат $\left(x,y,z \right)$ к сферическим координатам $\left(r,\theta,\phi \right)$ :

Список использованной литературы

1. Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу.-Одесса : Астропринт, 2009. стр.309-311
2. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо. №3990.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Том 1 / Г.М. Фихтенгольц – М.: Книга по Требованию, 2013. стр.455-456.