Processing math: 100%

Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей, на основе которых можно существенно облегчить их вычисление:

Свойство 1

Определитель транспонированной матрицы равен определителю начальной матрицы: detA=detAT.

Доказательство

Свойство 2

Транспозиция (замена) двух строк (столбцов) матрицы — меняет знак определителя detA=|a11a1n...ai1ainaj1ajn...an1ann|=|a11a1n...aj1ajnai1ain...an1ann|.

Доказательство

Свойство 3

Умножение всей строки (столбца) на некий элемент α является аналогичным умножению всего определителя на этот элемент. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю: |a11a12a1ja1na21a22a2ja2nαai1αai2αaijαainan1an2anjann|=α|a11a12a1ja1na21a22a2ja2nai1ai2aijainan1an2anjann|.

Доказательство

Свойство 4

Если все элементы i-той строки (столбца) матрицы определителя разбить в сумму двух строк: aij=bj+cj,j=1,,n то и саму матрицу можно будет разбить на две, у которых все строки (столбцы) кроме i-той — такие же как у первой матрицы, а i-тая строка состоит из bj в первой матрице определителя, и из элементов cj во втором.

Доказательство

Свойство 5

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы есть произведение элементов ее главной диагонали |a11a12a13a1n0a22a23a2n00a33a3n000ann|=a11a22a33ann.

Доказательство

Свойство 6

Если в матрице определителя одна строка будет результатом ее сложения с другой строкой и умножения на число, определитель не изменится . |a11a1nai1ai2ai3ainaj1aj2aj3ajnan1ann|==|a11a1nai1ai2ai3ainak1+kai1ak2+kai2ak3+kai3akn+kainan1ann|

Доказательство

Пример 1

Вычислить определитель detA=|61612212925|.

Решение

Пример 2

Вычислить определительdetA=|1251519082129004274100051300007|

Решение

Пример 3

Проверьте, будет ли определитель транспонированной матрицы равен исходной:331413122.

Решение

Пример 4

Вычислите определитель треугольной матрицы: 300410122.

Решение

Смотрите также

  1. Конспект Белозерова Г.С. по алгебре — Глава IV.
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, издание 9, глава 1, §4, «Определители n-го порядка»
  3. В.Воеводин Линейная алгебра М.: Наука, 1980, глава 7, §62, «Матрицы и определители» — стр 201

Свойства Определителей

Проверьте себя на знание материала «Свойства Определителей»