Рассмотрим свойства определителей, на основе которых можно существенно облегчить их вычисление:
Свойство 1
Определитель транспонированной матрицы равен определителю начальной матрицы: detA=detAT.
Действительно, брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы — то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. Далее, номера строк для исходной матрицы — это номера столбцов для транспонированной, а номера столбцов исходной матрицы — суть номера строк транспонированной. Поэтому каждое слагаемое входит в состав определителя исходной матрицы и определителя транспонированной с одним и тем же множителем.
Свойство 2
Транспозиция (замена) двух строк (столбцов) матрицы — меняет знак определителя detA=|a11…a1n...ai1…ainaj1…ajn...an1…ann|=−|a11…a1n...aj1…ajnai1…ain...an1…ann|.
Действительно, по Теореме №2 о транспозиции — транспозиция меняет четность элементов перестановки. При перестановке двух строк, каждый элемент меняет знак, значит и сам определитель меняет знак.
Свойство 3
Умножение всей строки (столбца) на некий элемент α является аналогичным умножению всего определителя на этот элемент. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю: |a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯αai1αai2⋯αaij⋯αain⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯anj⋯ann|=α⋅|a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯ai1ai2⋯aij⋯ain⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯anj⋯ann|.
Пусть на α умножаются все элементы i-той строки. Каждый член определителя содержит 1 элемент из этой строки, поэтому всякий член определителя приобретает общий множитель α, а это значит что и сам определитель умножается на α.
Свойство 4
Если все элементы i-той строки (столбца) матрицы определителя разбить в сумму двух строк: aij=bj+cj,j=1,…,n то и саму матрицу можно будет разбить на две, у которых все строки (столбцы) кроме i-той — такие же как у первой матрицы, а i-тая строка состоит из bj в первой матрице определителя, и из элементов cj во втором.
Действительно, любой член матрицы определителя можно представить в виде произведения: a1α1a2α2…aiαi…anαn=a1α1a2α2…(bαi+cαi)…anαn==a1α1a2α2…bαi…anαn+a1α1a2α2…cαi…anαn.. Объединяя первые слагаемые этого выражения, мы получим матрицу определителя, где в первой матрице в i-той строке вместо элементов aij стоят элементыbj. Соответственно вторые слагаемые составляют матрицу определителя, с элементами cj таким образом: |a11a12⋯a1na1+c1b2+c2…bn+cnan1an2…ann|==|a11a12…a1nb1b2…bnan1an2…ann|+|a11a12…a1nc1c2…cnan1an2…ann|.
Свойство 5
Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы есть произведение элементов ее главной диагонали |a11a12a13⋯a1n0a22a23⋯a2n00a33⋯a3n⋯⋯⋯⋯⋯000⋯ann|=a11⋅a22⋅a33⋅…⋅ann.
Действительно, так как определитель есть произведение одного из элементов строки (столбца) его матрицы, то у первого столбца единственным будет a11, во втором столбце — a22 т.к. у первой строки a11, третьим элементом — только a33, далее аналогично.
Свойство 6
Если в матрице определителя одна строка будет результатом ее сложения с другой строкой и умножения на число, определитель не изменится . |a11⋯⋯⋯a1n⋯⋯⋯⋯⋯ai1ai2ai3⋯ain⋯⋯⋯⋯⋯aj1aj2aj3⋯ajn⋯⋯⋯⋯⋯an1⋯⋯⋯ann|==|a11⋯⋯⋯a1n⋯⋯⋯⋯⋯ai1ai2ai3⋯ain⋯⋯⋯⋯⋯ak1+kai1ak2+kai2ak3+kai3⋯akn+kain……………an1⋯⋯⋯ann|⋅
Этот определитель можно представить в виде суммы определителей (по 4 свойству), в итоге получится 2 определителя, один из которых будет равен нулю, из-за равенства двух строк, а второй будет исходным.
Пример 1
Вычислить определитель detA=|61612212925|.
Выносим 2 из второй строки определителя: detA=|61612212925|=2|616616925|=0. Видим что у определителя две равных строки соответственно определитель равен нулю
Пример 2
Вычислить определительdetA=|1251519082129004274100051300007|
По пятому свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали: detA=|1251519082129004274100051300007|=12⋅8⋅4⋅5⋅7=13440.
Пример 3
Проверьте, будет ли определитель транспонированной матрицы равен исходной:‖33−14131−2−2‖.
|33−14131−2−2|==(−6)−(−18)−(−24)+8+9—(−1)=54|34131−2−13−2|=(−6)−(−18)−(−24)+8+9−(−1)=54. Действительно, определитель транспонированной матрицы равен исходной
Пример 4
Вычислите определитель треугольной матрицы: ‖3004101−2−2‖.
Воспользуемся пятым свойством: |3004101−2−2|=3⋅1⋅−2=−6
Пример 5
Вычислите определитель: |65932104000011282|.
По 3 свойству, матрица определителя, содержащая нулевую строку равна нулю. Ответ detA=0
Смотрите также
- Конспект Белозерова Г.С. по алгебре — Глава IV.
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, издание 9, глава 1, §4, «Определители n-го порядка»
- В.Воеводин Линейная алгебра М.: Наука, 1980, глава 7, §62, «Матрицы и определители» — стр 201
Свойства Определителей
Навигация (только номера заданий)
0 из 4 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
Информация
Проверьте себя на знание материала «Свойства Определителей»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Нет рубрики 0%
- Алгебра 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 4
1.
Количество баллов: 1Определитель какой матрицы равен начальной?
-
Задание 2 из 4
2.
Количество баллов: 1В каких свойствах идет речь о различных манипуляциях со строками(столбцами)
-
Задание 3 из 4
3.
Количество баллов: 1Меняется ли определитель при перемещении строки в матрице?
-
Задание 4 из 4
4.
Количество баллов: 1Расставьте соответствия
Элементы сортировки
- равен определителю оригинальной матрицы
- равен определителю с противоположным знаком
- равен произведению элементов главной диагонали
-
Определитель транспонированной матрицы
-
Определитель с измененным расположением двух строк в матрице
-
Определитель треугольной матрицы