Теорема 1

Пусть даны функции $f,g$ :$E \mapsto R^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^n$. Если $f, g$ непрерывны в точке $x_{0}$, то в этой точке непрерывны и функций $f+g$ , $f\cdot g$. Если $f,g$ — действительные функций и $g(x)\neq 0$ на $E$, то $\Large \frac{f}{g}$ непрерывна в точке $x_{0}.$

Доказательство:
Действительно, если $x_{0}$ — изолированная точка в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $x_{0}$ — предельная точка множества  $E$, то для доказательства этой теоремы достаточно применять соответствующую теорему о арифметических свойствах пределов функций.

Теорема 2 (формулировка)

Пусть $f$ : $E \rightarrow \mathbb{R}^m$ и $g$: $N \rightarrow {R}^k$,  $N \subset \mathbb{R}^m$, причем $f(E) \subset N$. Если  $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ $\in E$ , в функция $g$ непрерывна в точке $y_{0}= f(x_{0})$ $\in N$, то композиция $h= (g \circ f)$ непрерывна в точке $x_{0}$.

Пример

Пусть $f(x)=$ $\left | x \right |$.
Тогда из неравенства:
$\left | f(x)-f(x_0) \right |=\left | \left | x \right |- \left | x_{0} \right |\right | \leq \left | x-x_{0} \right |$ сразу следует непрерывность функций $f$.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

$latex=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа $latex=(f(a+0))$

$latex=\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)(=f(a+0))$ и$latex=\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)(=f(a-0))$,

причём $latex=f(a-0)=f(a+0)\neq f(a),$ то точка $latex=a$  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке $latex=a$ .

Пример

1) $latex=f(x)=sgn^{2}x=\begin{cases}1, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$

$latex=sgn {x}=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow +0}sgn^{2}x=1\neq 0$

точка 0-точка устранимого разрыва.

2) $latex=f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$ 

$latex=\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{x}_{0}\sin \frac{1}{x}=0\neq 1$

$latex=x=0$ точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

$latex=\exists f(a-0)< \infty$

$latex=\exists f(a+0)< \infty$  и   $latex=f(a+0)\neq f(a-0)$, то точка $latex=a$  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1) $latex=f(x)=sgnx=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=f(+0)=1< \infty$

$latex=f(-0)=-1< \infty$

2)$latex=f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text{ } x> 0 \\ 5, & \text{ } x=0 \\2x-2, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

Определение:

Точка $latex=a$  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

$latex=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{2}}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$

$latex=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & \text{ } x> 0 \\ 1, & \text{ } x=0 \\ 2x, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=0$
$latex=\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=\infty$

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
•  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

"Разрывность функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   • Точки устранимого разрыва
   • Точки разрыва 1-го рода
   • Точки разрыва 2-го рода
   • Точки разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   • Точкой разрыва называется такая точка в которой функция не является (непрерывной)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   Элементы сортировки

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x< 0,x\in \mathbb{R} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x<0\\ 0, & \text{ } x=0, x\in \mathbb{R} \\ 1, & \text{ } x> 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и $latex=f(a+0)\neq f(a-0)$,то точка $latex=a$…

   • точка разрыва 1-го рода
   • точка устранимого разрыва
   • точка разрыва 2-го рода
   • точка разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция $latex f$ определена на отрезке $latex \left[ a,b \right]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка, точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности $latex f(x)$ не убывает в промежутке $latex X$. Возьмём любую точку $latex a\in X$, не совпадающую с левым концом $latex X$ , и рассмотрим ту часть $latex X$ , которая лежит влево от $latex a$ . При $latex x\rightarrow a-0, f(x)$ не убывает и ограничена сверху, поскольку $latex f(x)\leq f(a)$ при $latex x< a$.

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел , получим, что$latex f(a-0)\leq f(a)$.

Если $latex f(a-0)= f(a)$, то $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex a$ слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точке$latex a\in X$, несовпадающей с правым концом$latex X,f(x)$ либо непрерывна справа, либо имеет конечный предел$latex f(a+0)> f(a)$. Ход доказательства для невозрастающей на $latex X$  функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке $latex a$  промежутка $latex X$  монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком $latex f(a+0)- f(a-0)$, либо непрерывна.

Рекомендации:

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87 ;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрыв функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 8 «Классификация точек разрыва функции»  стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1,§ 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ»   Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58 .

"Разрывность функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   • Точки устранимого разрыва
   • Точки разрыва 1-го рода
   • Точки разрыва 2-го рода
   • Точки разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   • Точкой разрыва называется такая точка в которой функция не является (непрерывной)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   Элементы сортировки

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x< 0,x\in \mathbb{R} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x<0\\ 0, & \text{ } x=0, x\in \mathbb{R} \\ 1, & \text{ } x> 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и $latex=f(a+0)\neq f(a-0)$,то точка $latex=a$…

   • точка разрыва 1-го рода
   • точка устранимого разрыва
   • точка разрыва 2-го рода
   • точка разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции $latex f(x)$. Построим график функции $latex y=f(x)$ и отметим на нём точку $latex a$ и точку $latex f(a)$.

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента $latex=x$ незначительное, $latex=x+\delta$ , то и изменение $latex=f(x+\delta)$ будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Рекомендации:

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167;
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

 Определение: 

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если  $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})$

Определение(по Коши):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если: $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon$

Определение (по Гейне):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если для любой последовательности $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }$, $x_{n}\in X, n\in N$, такого что, $\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}$:

$\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})$

Определение:

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0$  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция $f(x)$ — непрерывна справа, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ — непрерывна слева, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) $x_{0}\geq 0$ $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}$        ($\sqrt{x}$- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon$ $|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|=$ $|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| =$ $|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=$ $\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<$ $\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<$ $\varepsilon$ $0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}$ ($\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})$

Рекомендации:

  Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167.
•  Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

 Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 6

   Вставьте пропущенные слова:
   Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если

   • бесконечно (малому) (приращению) аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 6

   Дополните выражение!

   • Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (непрерывны) везде в своей области определения.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 6

   Соберите определение непрерывности по Коши!

   • $$\forall \varepsilon > 0,$$
   • $$\exists \delta _{\varepsilon }> 0,$$
   • $$\forall x\in X,$$
   • $$|x-x_{0}|< \delta$$
   • $$|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 6

   Запись $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ не может означать, что…

   • Функция $f(x)$ определена в точке $x_{0}$ и в её окрестности;
   • Функция $f(x)$ имеет предел при $x\rightarrow x_{0}$;
   • Предел функции в точке $x_{0}$ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$;
   • Функция не имеет предела в точке $x_{0}$;
   Правильно
   

   Неправильно