Определение:
Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если ∀n∈N: xn≤xn+1.
Определение:
Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если ∀n∈N: xn≥xn+1
Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)
Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то: limx→∞xn=supxn.
Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности: limx→∞xn=infxn.
Доказательство:
Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности {xn}. Докажем, что точная верхняя граница a=supxn для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы: ∀n xn≤a.
Кроме того, какое бы ни взять число ε>0, найдется такой номер N, что xn>a—ε.
Так как последовательность монотонна, то при n>N: xn≥xn, а значит, и xn>a—ε и выполняются неравенства: 0≤a—xn<ε∨|xn—a|<ε откуда и следует, что limn→∞xn=a. 
Пример. Доказать, что последовательность xn=1n сходится.
Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального n: xn=1n>0.
Исследуем заданную последовательность на монотонность:
xn—xn−1= 1n—1n+1= n+1−nn(n+1)= 1n(n+1)>0⇒xn>xn−1
а, значит, последовательность {xn} монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится.
Литература
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
- webmath.ru
Предел монотонной последовательности
Тест
