Задачи из журнала «Квант» (1996 год, выпуск 5)
Условие:
Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Доказать, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.
Доказательство:
Противоположные грани нашего многогранника симметричны относительно центра сферы О и потому параллельны. Все эти грани — треугольники (поскольку многогранник — выпуклая оболочка трех пар диаметрально противоположных точек сферы). Пусть AB — ребро прямого двугранного угла, образуемого плоскостями граней ABC и ABC′. Эти две плоскости, а также параллельные им плоскости A′B′C′ и A′B′C, пересекают сферу по окружностям. Эти четыре окружности пересекаются в восьми точках — вершинах прямоугольного треугольного параллелепипеда(рис. 2). Точки C и C′ должны (так же как и A и A′ B и B′) лежать в некоторых двух противоположных вершинах этого параллелепипеда. Соответственно (быть может, поменяв обозначения точек A и B), мы получаем единственный возможный пример — октаэдр ABCA′B′C′, вершины которого — это шесть вершин прямоугольного треугольного параллелепипеда ABCDD′C′A′B′(рис. 1). У этого октаэдра, очевидно, ровно шесть прямых двугранных углов — при ребрах AB, BC, CA′, A′B′, B′C′, C′A (и шесть — тупых).
