Эквивалентные функции

Определение :
Если $\exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})$ в которой определены $f,g$ и $h:f(x)=g(x)h(x)$ ,
причём $lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f$ и $g$ - эквивалентные при $x\rightarrow x_{0}$ и пишут $f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g$
$lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1$
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при $x\rightarrow x_{0}$

Для того, чтобы две бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$ были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$
Положив $\beta-\alpha =\gamma$ , будем иметь $\frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }$
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если $\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1$ , то $\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0$ , то есть $\gamma$ есть бесконечно малая высшего порядка, чем $\alpha$ и $\beta \sim \alpha$ . Обратно, если дано, что $\beta \sim \alpha$ , то $\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0$ , а тогда $\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1$ .
С помощью этого критерия, например, видно, что при $x\rightarrow 0$ бесконечно малая $sin\: x$ эквивалентна $x$ , а $\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x$ .
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых $\frac{\beta }{\alpha }$ . Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Если $f\sim f_{1}$ , а $g\sim g_{1}$ , при $x\rightarrow x_{0}$ , то если $\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}$ , то $\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$ и $lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) $lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=$ $\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}$ $\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=$ $\frac{1}{4}$

2) $lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=$ $\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}$ $=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=$ $lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=$ $lim_{t\rightarrow 0}1=1$

Источники:

Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое, стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Задание 1 из 6

1.
Дополните утверждение
- Понятие эквивалентные обычно используют, когда две функции или
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Какими свойствами обладает отношение эквивалентности:
- Рефлексивность
- Симметричность
- Асимметричность
- Транзитивность
- Нетранзитивность
Правильно

Неправильно

Подсказка

3 правильных ответа

Задание 3 из 6

3.

Соедините, создавая верные утверждения

Элементы сортировки

$x$
$1$
f~g=>g~f
f~g, g~h =>f~h

$arctg x~$

$lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=$

свойство симметричности

свойство транзитивности

Задание 4 из 6

4.
Найдите предел:

$lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+4x)}{sin3x}$
Правильно

Неправильно

Подсказка

Используются формулы:

$ln(1+\alpha )\sim \alpha ; sin\alpha \sim \alpha$

Задание 5 из 6

5.

Установите соответствия:

Элементы сортировки

$x$
$xlna$
$\frac{x^{2}}{2}$
$\alpha x$

$sh x\sim$

$a^{x-1\sim }$

$1-cosx\sim$

$(1+x)^{\alpha }-1\sim$

Задание 6 из 6

6.
Для того, чтобы две бесконечно малые были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было
- $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$
- $lim\frac{\beta }{\alpha }=0$
- $lim\frac{\beta }{\alpha }=\infty$
Правильно

Неправильно

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: нахождение границ