Метка: нахождение обратной матрицы

Необходимость. Пусть $A \in M_{n}\left (P\right ).$ И пусть для нее существует правая обратная матрица, тогда, применяя одно из свойств умножения матриц, получаем $AB = E,$ где $E$ — единичная матрица. $$\det(AB)= \det A \det B = 1\Rightarrow \det A\neq 0$$ — по определению матрица $A$ невырожденная.

Тогда покажем, что и для левой обратной матрицы результат аналогичен. Применяя одно из свойств умножения матриц получаем $BA = E.$ $$\det(BA)= \det B\det A = 1\Rightarrow \det A\neq 0$$ — по определению матрица $A$ невырожденная.

Зная определение обратной матрицы, видим, что необходимость выполняется.

Достаточность. Пусть $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$, то есть$\left ( \det A \right )\neq 0$. Укажем обратную матрицу явно. Для удобства обозначим за $$\widetilde{A} = \begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}$$ - присоединенную матрицу такую, что $\widetilde{A}=\begin{Vmatrix}A_{ij}\end{Vmatrix}$, где $A_{ij}$ — это алгебраические дополнения к элементу $a_{ij}$ матрицы $A$, $i=\overline{1, n}$ и $j=\overline{1, n}$. Тогда $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\begin{Vmatrix}A_{ji}\end{Vmatrix}.$

Покажем, что $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}.$ Для этого следует проверить выполнение таких равенств: $\displaystyle A\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=E$ и $\displaystyle \frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A=E.$

Проверим первое равенство. Положим $\displaystyle B=A\cdot \frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$, тогда $$b_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\frac{1}{\det A}A_{jk}=\frac{1}{\det A}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}.$$

Если $i=j$, то по определению детерминанта получаем $$\displaystyle b_{ij}=\frac{1}{\det A}\det A=1.$$

Если $i\neq j$, то по теореме о «чужих» дополнениях $b_{ij}=0.$

Таким образом, мы доказали, что $\displaystyle E=A\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}.$

Проверим второе равенство. Положим, $\displaystyle C= \frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A.$ Тогда $\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\det A}A_{jk}a_{ik}=\frac{1}{\det A}\sum_{k=1}^{n}A_{jk}a_{ik}.$ Получаем, что при $i=j$ $\displaystyle c_{ij}=\frac{1}{\det A}\det A=1$, а при $i\neq j\Rightarrow c_{ij}=0.$

Получаем, что выполняется первое и второе равенство, следовательно, достаточность данного критерия доказана.