Теорема (о дифференцировании сложной функции)

Если функции

$z=f(y)$ и

$y=\varphi(x)$ дифференцируемы соответственно в точках

$y_0$ и

$x_0$ , где

$y_0=\varphi(x_0)$ , то

$z=f(\varphi(x))$ — дифференцируема в точке

$x_0$ , причём

$z'(x_0)=f'(y_0)\cdot \varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0)) \cdot \varphi'(x_0)$ .

Доказательство

Т.к. функции $f$ и $\varphi$ непрерывны, то $z(x)=f(\varphi(x))$ — непрерывны в точке $x_0 \Rightarrow z$ определена в $u_\delta (x_0)$

$|\Delta x|<\delta$

$\Delta y=\varphi(x_0+\Delta x) — \varphi(x_0)$

$\Delta z=z(x_0+\Delta x)-z(x_0)$

$\Delta z=f(y)=f(\varphi(x))$
$\Delta z=f'(y_0) \cdot \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)$ , где $\lim\limits_{\Delta y \to 0} \alpha (\Delta y)=0$
$\frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)}{\Delta x}=&s=2$
$=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(f'(y_0)\cdot \underset{\underset{\varphi'(x_0)}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}} + \underset{\underset{0}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \alpha (\Delta x)}})=f'(y_0) \cdot \varphi'(x_0) &s=2$
Теорема доказана.

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна на $\Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0)$ и если $\exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y)$ (обратное к $y=f(x)$ ) дифференцируемо в точке $y_0=f(x_0)$ , причём $\varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$

Доказательство:

$x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha$
$x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta$
По теореме об обратной функции функция $f$ имеет обратную $x=\varphi(y)$ , $y\epsilon [\alpha;\beta]$ , $\varphi(x)$ — строго монотонна и непрерывна.
$y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=$
$\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2$

Примеры

1) Доказать, что:

$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1&s=2$

График функции $y=arcsinx$ . Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

$y=\arcsin x, |y|<\frac{\pi}{2}$

$x=\sin y=\varphi(y)$

$\varphi'(y)=\cos y$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y} =$

$\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&s=2$

2) Доказать, что:

$( \textrm{arctg} x)’ = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R} &s=2$

Решение:

$y=\textrm{arctg} x$

$x=\textrm{tg} y=\varphi(y)$

$\varphi(y)=\frac{1}{\cos^2 y}&s=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}=$

$\cos^2 y=\frac{1}{1+\textrm{tg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}&s=2$

Список литературы:

Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, глава 3, §1, 94 (стр 196) 1962г.

Тест: дифференцируемость обратной функции

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.

Задание 1 из 4

1.
Функция $f$ является монотонно возрастающей на $[a;b]$ , если:
- $\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}> x_{1}\Rightarrow f(x_{2})> f(x_{1})$
- $\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}> x_{1}\Rightarrow f(x_{2})< f(x_{1})$
- $\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}\leq x_{1}\Rightarrow f(x_{2})\leq f(x_{1})$
- $\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}< x_{1}\Rightarrow f(x_{2})> f(x_{1})$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Найдите производную обратной функции $y=\arccos(x^{2}-2)$ в точке $x_0=1$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Найдите производную обратной функции $y=3x^2-5x$ в точке $x_0 = 1$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
В теореме о дифференцируемости обратной функции является ли условие $\exists {f}'(x)\neq 0$ необходимым?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно

Спойлер

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: нахождение производных

Дифференцируемость сложной функции

Теорема (о дифференцировании сложной функции)

Доказательство

Дифференцируемость обратной функции

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Доказательство:

Примеры

Решение:

Решение:

Тест: дифференцируемость обратной функции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Тест: дифференцируемость обратной функции

Средний результат
Ваш результат