Метка: неограниченные

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным сверху, если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\leq c$, то есть все элементы множества $X$ лежат левее $c$.

Например: $3,2,1,0,-1,…$ ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число $c$ называется верхней границей множества $X$.

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным снизу, если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\geq c$, то есть все элементы множества $X$ лежат правее $c$.

В данном случае, число $c$ назовём нижней границей множества $X$.

Например: $1,2,…$ ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным, если $\exists {c}’,c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}’ \leq x \leq c$.

Проще говоря, множество $X$ называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество $X(\mathbb{R})$ ограниченно $\Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c$.

$-c \leq x \leq c$

$x$ — найбольший элемент (максимум)  множества $X$, если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\leq x$.

$x$ — найменьший элемент (минимум)  множества $X$, если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\geq x$.

Например: $x=(0;1]$  не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для $\forall x \in \mathbb{R}$   $\exists n \in \mathbb{N}: n>x$, то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

$\square$ Докажем методом от противного. Предположим, что $\mathbb{N}$ ограничено сверху во множестве $\mathbb{R}$. Тоесть $E$ — множество всех его верхних границ (не пустое). $\mathbb{N} \leq E$, тогда по аксиоме непрерывности $\exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E$. Так как $c \leq E$, то $c$ не является верхней границей. Следовательно, $c-1 \notin E$, то есть $c-1$ не является верхней границей для $\mathbb{N}$. $\exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1$. Так как $n \in \mathbb{N}$, то $n+1 \in \mathbb{N}$. Получаем, что $n+1 \leq c$. Получили противоречие с тем, что $c<n+1$. $\blacksquare$

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Множество X=(1;4] является

   • ограниченным сверху
   • ограниченным снизу
   • ограниченным
   • неограниченным
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Укажите натуральное число, которым ограниченно снизу множество X=(1;9]
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Укажите правильную характеристику множества X=(19; 29,5)

   • имеет максимум
   • не имеет минимума
   • ограничено сверху любым числом больше 29
   • неограничено
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте множества согласно их характеристикам:

   Элементы сортировки

   • $$X=(-\infty;\infty)$$
   • $$X=(-18;0]$$
   • $$X=[-\pi;\infty)$$

   • Неограничено

   • Имеет максимум

   • Имеет минимум

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Укажите пропущенное слово

   • Множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве (вещественных, действительных) чисел. (принцип Архимеда)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru