Неограниченный промежуток

Пусть функция $f(x)$ определена в промежутке $[a,+ \infty),$ т.е. для $x \geq a$ , и интегрируема в любой конечной его части $[a,A],$ так что интеграл $\int_{a}^{A}f(x)dx$ имеет смысл при любых $A\geq a.$

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при $A \to +\infty$ называют интегралом функции $f(x)$ от $a$ до $+\infty$ и обозначают символом

$\int\limits_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A}f(x)dx(1)$

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл $(1)$ сходится, а функцию $f(x)$ называют интегрируемой в бесконечном промежутке $[a,+ \infty)$ . Если же предел $(1)$ бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от собственного интеграла, этот интеграл называются несобственным.

Спойлер

$\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\sin(x)\mid_{0}^{b}=\lim_{b \to +\infty}(\sin(b)-\sin(0))=$ $\lim_{b \to +\infty}\sin(b)$ этого предела не существует, следовательно интеграл расходится.

[свернуть]

Спойлер

$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\frac{d(x+3)}{(x+3)^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\ln\bigg|\frac{x+3-\sqrt{2}}{x+3+\sqrt{2}}\bigg|\Bigg|_{0}^{b}=$ $\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\bigg(\ln\Big|\frac{b+3-\sqrt{2}}{b+3+\sqrt{2}}\Big|-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg[\ln1-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg]=$ $\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{11+6\sqrt{2}}{7}$ интеграл сходится.

[свернуть]

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом определяется интеграл в пределах от $-\infty$ до $b:$

$\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b}f(x)dx$

Спойлер

$\int\limits_{-\infty}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}\int\limits_{b}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}e^x\mid_{b}^{0}=e^0-\lim_{b \to -\infty}(e^b)=e^0=1$ этот интеграл сходится.

Так выглядит данная функция, цветом же выделена область интеграла

[свернуть]

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Тест на знание темы «Несобственный интеграл на неограниченном промежутке»

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Какое утверждение верно для данной записи:
$\int_{a}^{\infty}f(x)dx = \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A}f(x)dx$
- Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится
- Если этот предел не существует, говорят, что интеграл сходится
- Если этот предел конечен, говорят, что интеграл расходятся
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.

Количество баллов: 3

К каждому интегралу поставить в соответствие предел.

Элементы сортировки

Расходится
$\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{11+6\sqrt{2}}{7}$
$1$

$\int_{0}^{\infty}cos(x)dx$

$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}$

$\int_{-\infty}^{0}e^xdx$

Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Запись вида: $\int_{a}^{\infty}f(x)dx = \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A}f(x)dx$ называют
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 3
Отсортируйте в порядке возрастания значений несобственного интеграла
- $\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}$
- $\int_{-\infty}^{0}e^xdx$
- $\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$
Правильно 3 / 3Баллы

Неправильно / 3 Баллы
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Интеграл расходиться или сходится?
$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x+9}$
- Сходится
- Расходится
Правильно

Неправильно

Литература:

Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том, стр.562
Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.102
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа стр.387

Метка: Неограниченный промежуток

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.