нестандартное решение

Пусть

$c_{n}$ — первая цифра числа

$2^{n}$ (в десятичной записи).

Сколько единиц среди первых 1000 членов этой последовательности?
Докажите, что в последовательности
$c_{1}=2, \quad c_{2}=4, \quad c_{3}=8, \quad c_{4}=1, \quad c_{5}=3, \quad…$

встретится ровно 57 различных «слов» $c_{k}c_{k+1}…c_{k+12}$ длины 13.

Отметим на «логарифмической шкале» $y=\log_{10}{x}$ числа $x=2^{n}$ (каждая следующая отметка получается из предыдущей сдвигом на расстояние $\log_{10}{2}$ ). Число $x$ начинается с $1$ , если $10^{k} \le x < 2 \cdot 10^{k+1}$ для некоторого $k$ ; соответствующие интервалы на рисунке 1 выделены красным (поскольку длина интервала как раз равна $\log_{10}{2}$ , на каждый из них попадает ровно одна отметка). Поскольку

$\log_{10}{2} = 0.30103…, \quad 10^{301} \le 2^{1000} < 10^{302},$

так что $2^{n}(n=0,1,2,…,1000)$ ровно 301 раз перейдет через степень $10$ и поэтому (не считая $2^{0}=1$ ) 301-ый её член начинается с 1.

Чтобы более детально разобраться в закономерностях последовательности $c_{n}$ , свернем логарифмическую шкалу $y=\log{10}{x}$ в «логарифмический круг» $z=y-\left[ y \right]$ : каждый отрезок от $10^k$ до $10^{k+1}$ даёт новый оборот круга, а точки $0=\log_{10}{1}, \quad \log_{10}{2}, \quad \log_{10}{3}, \quad …, \quad \log_{10}{9}$ — границы интервалов, в которых расположены значения z, соответствующие различным первым значащим цифрам числа $x$ от $1$ до $9$ (см. рисунок 2).

Прежде чем решать задачу $(2)$ , объясним идею рассуждения на более простом примере: выясним, сколько разных пар $\left( c_{k}, c_{k+1} \right)$ цифр встречается в нашей последовательности. Читать далее «М1473. О записи степеней двойки»