$p = x(x+b_{1})(x+b_{2})…(x+b_{n+1})=x+c, (1)$

где, по условию, $c$ нечётно, а $b_{1} , b_{2}, … , b_{n-1}$ должны быть чётными целыми числами. Равенство $(1)$ можно записать, раскрыв скобки в виде

$x^{n} +a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} +…+a_{n-2}x^{2}+x{n-1}x=c, (2)$

где $a_{1},…,a_{n-2}$ — чётные, а $a_{n-1}=b_{1}b_{2}…b_{n-1}-1$ и $c$ — нечётные числа.Предположив, что $x$ — рациональное число, мы сразу же убедимся, что $x$ должно быть целым:если $x=k/d$ — несократимая дробь, $d>1$, то, подставив $x$ в $(2)$ и умножив обе части на $d^{n-1}$ , мы придём к противоречию.Но и целым $x$ тоже быть не может: и при чётном, и при нечётном $x$ левая часть — четная (в последнем случае два крайние числа нечётны, а остальные чётны), а $c$ — нечётно. Полученное противоречие доказывает, что $x$ (и любой из остальных корней уравнения (1) с чётными $b$, и нечётным $c$) может быть только иррациональным.

$p = x(x+b_{1})(x+b_{2})…(x+b_{n+1})=x+c, (1)$

где, по условию, $c$ нечётно, а $b_{1} , b_{2}, … , b_{n-1}$ должны быть чётными целыми числами. Равенство $(1)$ можно записать, раскрыв скобки в виде

$x^{n} +a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} +…+a_{n-2}x^{2}+x{n-1}x=c, (2)$

где $a_{1},…,a_{n-2}$ — чётные, а $a_{n-1}=b_{1}b_{2}…b_{n-1}-1$ и $c$ — нечётные числа.Предположив, что $x$ — рациональное число, мы сразу же убедимся, что $x$ должно быть целым:если $x=k/d$ — несократимая дробь, $d>1$, то, подставив $x$ в $(2)$ и умножив обе части на $d^{n-1}$ , мы придём к противоречию.Но и целым $x$ тоже быть не может: и при чётном, и при нечётном $x$ левая часть — четная (в последнем случае два крайние числа нечётны, а остальные чётны), а $c$ — нечётно. Полученное противоречие доказывает, что $x$ (и любой из остальных корней уравнения (1) с чётными $b$, и нечётным $c$) может быть только иррациональным.