ограниченные

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным сверху, если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\leq c$ , то есть все элементы множества $X$ лежат левее $c$ .

Например $3,2,1,0,-1,…$ ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число $c$ называется множества $X$ .

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется , если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\geq c$ , то есть все элементы множества $X$ лежат правее $c$ .

В данном случае, число $c$ назовём нижней границей множества $X$ .

$1,2,…$ ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным, если $\exists {c}’,c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}’ \leq x \leq c$ .

Проще говоря, множество $X$ называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество $X(\mathbb{R})$ ограниченно $\Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c$ .

$-c \leq x \leq c$

$x$ — найбольший элемент (максимум) множества $X$ , если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\leq x$ .

$x$ — множества $X$ , если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\geq x$ .

$x=(0;1]$ не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для $\forall x \in \mathbb{R}$ $\exists n \in \mathbb{N}: n>x$ , то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

$\square$ Докажем методом от противного. Предположим, что $\mathbb{N}$ ограничено сверху во множестве $\mathbb{R}$ . Тоесть $E$ — множество всех его верхних границ (не пустое). $\mathbb{N} \leq E$ , тогда по аксиоме непрерывности $\exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E$ . Так как $c \leq E$ , то $c$ не является верхней границей. Следовательно, $c-1 \notin E$ , то есть $c-1$ не является верхней границей для $\mathbb{N}$ . $\exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1$ . Так как $n \in \mathbb{N}$ , то $n+1 \in \mathbb{N}$ . Получаем, что $n+1 \leq c$ . Получили противоречие с тем, что $c<n+1$ . $\blacksquare$

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Множество X=(1;4] является
- ограниченным сверху
- ограниченным снизу
- ограниченным
- неограниченным
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Укажите натуральное число, которым ограниченно снизу множество X=(1;9]
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Укажите правильную характеристику множества X=(19; 29,5)
- имеет максимум
- не имеет минимума
- ограничено сверху любым числом больше 29
- неограничено
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 5

4.

Количество баллов: 1

Отсортируйте множества согласно их характеристикам:

Элементы сортировки

$X=(-\infty;\infty)$
$X=(-18;0]$
$X=[-\pi;\infty)$

Неограничено

Имеет максимум

Имеет минимум

Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Укажите пропущенное слово
- Множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве чисел. (принцип Архимеда)
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru

Метка: ограниченные