Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция $y = f(x)$, непрерывна слева в точке $x_{0}$, то есть $\lim\limits_{x \to x_{0} — 0} f(x) = f(x_{0})$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$, то этот предел называют левой производной функции $y$ в точке $x_{0}$.
Левая производна кратко записывается ${f_{-}}'(x_{0})$.

Определение: Если функция $y = f(x)$, непрерывна справа в точке $x_{0}$, то есть $\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$, то этот предел называют правой производной функции $y$ в точке $x_{0}$.
Правая производна кратко записывается ${f_{+}}'(x_{0})$.

Определение: Прямая проходящая через точку $(x_{0}, f(x_{0}))$, с угловым коэффициентом ${f_{-}}'(x_{0})$, называется левой касательной к графику функции $y$ в точке $(x_{0}, f(x_{0}))$.

Определение: Прямая проходящая через точку $(x_{0}, f(x_{0}))$, с угловым коэффициентом ${f_{+}}'(x_{0})$, называется правой касательной к графику функции $y$ в точке $(x_{0}, f(x_{0}))$.

Определение: Если функция $y=f(x)$, непрерывна в точке $x_{0}$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty$, тогда производная ${f}'(x_{0})$ называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси $Oy$. В случаях a и b эта производная равна, соответственно, $+\infty$ и $-\infty$ (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Найдите правостороннюю производную функции $y = x^{\frac{2}{3}}$ в точке 0.

   • $${y}'_{+}(0) = 0$$
   • $${y}'_{+}(0) = +\infty$$
   • $${y}'_{+}(0) = -\infty$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Найдите левостороннюю и правостороннюю производные функции $y = |x|$.

   • $${y}'_{+}(x) = 1$$
   • $${y}'_{-}(x) = 1$$
   • $${y}'_{-}(x) = -1$$
   • $${y}'_{+}(x) = -1$$
   Правильно 2 / 2Баллы

   Неправильно / 2 Баллы
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Найдите левостороннюю касательную к графику функции $y = \sqrt x$ в точке $x_{0}=0$.

   • $$y_{касательная}=2x-1$$
   • Такой касательной не существует.
   • $$y_{касательная}=0$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Расположите разносторонние производные функций в порядке возрастания.

   • $$(x^{\frac{2}{3}})'_{-}, x_{0}=0$$
   • $$|{x}|'_{-}, x_{0}=0$$
   • $$|{x}|'_{+}, x_{0}=0$$
   • $$(x^{\frac{2}{3}})'_{+}, x_{0}=0$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем  её график.

Функция $f(x)$ называется монотонно возрастающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}>$ $x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Функция $f(x)$ называется монотонно убывающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>$ $x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Функция $f(x)$ называется строго монотонно убывающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>$$x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$

Функция $f(x)$ называется строго монотонно возрастающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>$$x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$

Пример графика монотонно возрастающей функции.

На графике видно, что $\forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}$, соответствующие значения функции $f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Пример графика монотонно убывающей функции.

На графике видно, что $\forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}$, соответствующие значения функции $f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция $f(x)$ определена и монотонна на отрезке $[a;b]$, то в каждой точке $x_{0}\in (a;b)$ эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках $a$ и $b$ правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция $f(x)$ монотонно возрастает на $[a;b]$. Выберем произвольную внутреннюю точку $x_{0}\in (a;b]$. Тогда $\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow$$f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow$ $f(x)$ ограничена сверху на $[a;x_{0})\Rightarrow$$\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0})$.
Согласно определению:
а) $\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow$$f(x) \leqslant M$
б) $\forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:$$M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }),$ обозначим $\delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0$.
Если $x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0})$, то $f(x_{\varepsilon })\leq f(x)$.
Итог: $\forall \varepsilon >0\exists \delta>0:$$\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):$$M-\varepsilon <$ $f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<$ $M+\varepsilon \Leftrightarrow$$|f(x)-M|< \varepsilon$
$\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M$
Итак $f(x_{0}-0)= \sup f(x)$, $a\leqslant x<x_{0}$.
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке $x_{0}\in [a;b)$ предел справа причем $f(x_{0}+0)=\inf f(x)$, $x_{0}<x\leqslant b$.
Следствие. Если функция $f$ определена и монотонна на интервале $(a;b)$, $\forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \[/latex] предел справа и слева, причем если [latex]f$ возрастает, то
$f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)$ $\leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=$$f(x_{0}+0)$,
если убывает, то
$f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)$ $\geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=$$f(x_{0}+0)$.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Вартанян Г. М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.57. Предел монотонной функции. (с.133-134)

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тест по теме Пределы монотонных функций.

Желаем удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 5

   Дать определение строго монотонно возрастающей функции на отрезке $[a;b]$

   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)> f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)< f(y)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 5

   Вставьте пропущенные слова.
   
   $$Если~ функция ~ f(x) ~определена ~и~ монотонна~ на ~отрезке ~ [a;b],$$
   $$~то~ в ~каждой~ точке ~x ~ из ~ (a;b)$$
   $$эта~ функция~ имеет ~конечные ~пределы ~слева~ и~ справа,~а ~в ~точках~ a~ и~ b$$

   • (правосторонний) и (левосторонний) пределы.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определения

Односторонний предел по Коши

Число $A^{‘}$ называют левосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a:$

$A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),$

если

$\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon$

Аналогично, число $A^{»}$ называют правосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a:$

$A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),$

если

$\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon$

Односторонний предел по Гейне

Число $A^{‘}$ называют левосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a:$

$A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),$

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число $A^{»}$ называют правосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a:$

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   
   Функция $f(x)$ называется непрерывной слева, если

   • $\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)$
   • $\exists \lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)$
   • $\forall x\in (a-\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$
   • $\forall x\in (a+\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • $\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon$
   • $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A$
   • $\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A|<\varepsilon$
   • $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A$

   • Определение левостороннего предела по Коши

   • Определение левостороннего предела по Гейне

   • Определение правостороннего предела по Коши

   • Определение правостороннего предела по Гейне

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция $f(x)$ имеет предел в точке $a$ тогда и только тогда, когда существуют (равные, одинаковые) между собой (односторонние) пределы в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   
   Найти односторонние пределы функции $f(x)=\frac{1}{x}$ при $x\rightarrow 0$:

   • Правый предел = $+\infty$
   • Левый предел = $-\infty$
   • Правый предел = $-\infty$
   • Левый предел = $+\infty$
   Правильно
   

   Неправильно