Определение

Последовательность $latex \left \{ x_{n} \right \}$ называется бесконечно большой, если $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$, или $latex \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty$.

Геометрическая интерпретация

Назовем $latex \varepsilon$-окрестностью точки $latex \infty$ множество $latex E=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x\right|>\varepsilon\right\}$.
Введем множества $latex E_{1}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x<-\varepsilon\right\}$ и $latex E_{2}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x>\varepsilon\right\}$. Назовем эти множества $latex \varepsilon$-окрестностями точек $latex -\infty$ и $latex \infty$ соответственно. Тогда $latex E=E_{1}\cup E_{2}$.

Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

• Если $latex \left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера $latex n$ определена последовательность $latex \left \{ \frac{1}{x_{n}}\right \}$, которая является бесконечно малой.
• Если все элементы бесконечно малой последовтельности $latex \left \{ \alpha_{n}\right \}$ отличны от нуля, то последовательность $latex \left \{\frac{1}{\alpha_{n}}\right \}$ — бесконечно большая.

Доказательство.

• Пусть $latex \left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая последовательность, т.е. $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$. Это означает, что при $latex n\geq N_{\varepsilon}$ все элементы $latex x_{n}\neq 0$, поэтому последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}$ имеет смысл с номера $latex N_{\varepsilon}$.
  Пусть $latex A$ — любое положительное число, тогда для числа $latex \frac{1}{A}$ $latex \exists\,N_{1}:\forall n\geq N_{1}\left|\frac{1}{x_{n}}\right|<A$, что по определению означает, что последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}$ — бесконечно малая.
• Второе доказательство проводится аналогично.

Свойства бесконечно больших последовательностей

1. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
2. Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
4. Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

Доказательство.

1. Пусть $latex \left\{x_{n}\right\},\;\left\{y_{n}\right\}$ — бесконечно большие последовательности.
   По определению:
   $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{1}>0:\;\forall n\geq N_{1} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$ и $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{2}>0:\;\forall n\geq N_{2} \;\;\left|y_{n}\right|\geq\varepsilon$.
   Тогда для последовательности $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\}$:
   $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N=\max\left\{N_{1},N_{2}\right\}>0:\;\forall n\geq N \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon$, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ — бесконечно большая.
2. Пусть последовательность $latex \left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая, $latex \left\{y_{n}\right\}$ — ограниченная. Тогда по определению $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$ и $latex \exists\,C:\;\forall n\in\mathbb{N} \left|y_{n}\right|<C$.
   Рассмотрим $latex \left|x_{n}+y_{n}\right|$:
   $latex \left|x_{n}+y_{n}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\frac{\left|x_{n}+y_{n}\right|}{\left|x_{n}\right|}=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}}{x_{n}}+\frac{y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\left(1+0\right)=\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$
   (используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
   Получили: $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon$, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ — бесконечно большая.
3. Доказательство аналогично предыдущему.
4. Пусть последовательность $latex \left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая, $latex C \neq 0$ — константа. Тогда по определению $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$.
   Рассмотрим $latex \left|x_{n}\cdot C\right|$:
   $latex \left\{x_{n}\right\}\rightarrow\infty, \Rightarrow \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}\rightarrow 0$ (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
   $latex C$ — константа, $latex \Rightarrow\left\{\frac{1}{C}\right\}$ — также константа, т.е. ограниченная.
   $latex \left \{ \frac{1}{x_{n}\cdot C} \right \}=\left \{\frac{1}{x_{n}}\cdot\frac{1}{C} \right \}\rightarrow 0\Rightarrow\left \{ x_{n}\cdot C \right \}\rightarrow\infty$, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}y_{n}\right\}$ — бесконечно большая.
   (используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Примеры.

1. Последовательность $latex \left\{n\right\}$ является бесконечно большой, т.к. $latex \forall\varepsilon\>0\;\exists N=\left[\varepsilon\right]+1:\;\forall n\geq N\;n>\varepsilon$.
2. Последовательность $latex \left\{\frac{n^2}{n+1}\right\}$ является бесконечно большой, т.к. $latex \frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{\infty}{1+0}=\infty$.
3. $latex \frac{n}{\left(\cos n\right)^2}=n\cdot\frac{1}{\left(\cos n\right)^2}$ — бесконечно большая, т.к. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n=\infty$, а $latex \frac{1}{\left(\cos n\right)^2}$ — ограниченная, сохраняющая знак.
4. $latex \left\{-\sqrt{n}\right\}$
   Выберем произвольное число $latex \varepsilon>0:\;-\sqrt{n}\leq-\varepsilon;\; N>\varepsilon^2$. Получили: $latex \forall\varepsilon>0\;\exists N=\left[\varepsilon^{2}+1\right]:\,\forall n\geq N\;\; -\sqrt{n}<-\varepsilon$, т.е. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-\sqrt{n}\right)=-\infty$.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу,М.,1969. стр.15-17
• Свойства бесконечно малых последовательностей
• Основные свойства бесконечно больших последовательностей

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 8 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

Информация

Тест по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 8

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 8

   1.

   Является ли последовательность $latex \left\{\frac{1}{3^n}\right\}$ при $latex n\rightarrow\infty$ бесконечно малой?
   

   • Да.
   • Нет.
   • Не знаю или затрудняюсь ответить.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 8

   2.

   Сформулировать с помощью кванторов:
   $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=-\infty$
   

   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\left | x_{n} \right |<\varepsilon$$
   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\,\; x_{n} <\varepsilon$$
   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\, \left | x_{n} \right | <-\varepsilon$$
   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\, x_{n}<-\varepsilon$$
   • $$\exists\varepsilon>0\;\forall N:\exists n\geq N\;\, x_{n}<-\varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 8

   3.

   Дополните определение.
   

   • Последовательность $\alpha_n$ называется (бесконечно) (малой), если ее предел при $n\rightarrow\infty$ равен $0$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 8

   4.

   Какие из перечисленных свойств относятся к свойствам бесконечно малых последовательностей?
   

   • Бесконечно малая последовательность ограничена.
   • Отношение бесконечно малой последовательности к ограниченной есть бесконечно большая последовательность.
   • Последовательность является бесконечно малой тогда и только тогда, когда она является ограниченной.
   • Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу $C$, то $C=0$ .
   • Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
   • Любая бесконечно малая последовательность монотонна.
   • Если последовательность $\left\{\alpha_n\right\}$ - бесконечно малая, то последовательность $\left\{\frac{1}{\alpha_n}\right\}$ - также бесконечно малая.
   • Если последовательность $\left\{\alpha_n\right\}$ - бесконечно малая, то последовательность $\left\{\frac{1}{\alpha_n}\right\}$ - ограниченная.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 8

   5.

   Какие из следущих последовательностей бесконечно малые?
   

   • $$\left\{\frac{1}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\frac{n}{\ln n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\frac{\sin^2 n}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\frac{e^n}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\sqrt[n]{a}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 8

   6.

   Сформулируйте теорему о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
   Если $latex \left\{x_n\right\}$ — ____________________ _________________ последовательность, то начиная с некоторого номера $latex n$ определена последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_n}\right\}$, которая является бесконечно малой.

   • (бесконечно) (большая)
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 8

   7.

   Расставьте последовательности согласно их свойствам.
   

   Элементы сортировки

   • $$\left\{\frac{1}{n!}\right\}$$
   • $$\left\{\frac{2^n}{n^2}\right\}$$
   • $$\left\{\sin{\frac{n!}{2^n}}\right\}$$

   • Бесконечно малая последовательность

   • Бесконечно большая последовательность

   • Ограниченная последовательность (не является ни бесконечно малой, ни бесконечно большой)

   Правильно
   

   Неправильно
   
8. Задание 8 из 8

   8.

   Сформулируйте свойство бесконечно малых последовательностей.
   Любая бесконечно малая последовательность …
   Правильно
   

   Неправильно
   

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке [latex]\varepsilon — \delta[/latex]):

[latex]A[/latex] — предел функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] (и пишут $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A$), если: [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) — A| < \varepsilon[/latex]
В определении допускается, что [latex]x \neq a[/latex], то есть [latex]a[/latex] может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

[latex]A[/latex] называется пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex], если [latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a[/latex], [latex]x_n\ne a[/latex] то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], соответствующая последовательность значений [latex]{f(x_{n})} \rightarrow A[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

[latex]\forall x:0<|x-a|<\delta[/latex]

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка [latex]x[/latex] принадлежит проколотой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]a[/latex]([latex]x\in \dot{U_{\delta }}(a)[/latex])

2. Эквивалентность определений

Пусть число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность [latex]x_{n}[/latex] , [latex]n \in N[/latex], то есть такую, для которой [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex]. Покажем, что [latex]A[/latex] является пределом по Гейне.

Зададим произвольное [latex]\varepsilon > 0[/latex] и укажем для него такое [latex]\delta > 0[/latex], что для всех [latex]x[/latex] из условия [latex]0 < |x-a| < \delta[/latex] следует неравенство [latex]|f(x)-A | < \varepsilon[/latex]. В силу того, что [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], для [latex]\delta > 0[/latex] найдётся такой номер [latex]n_{\delta }\in N[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\delta }[/latex] будет выполняться неравенство [latex]|f(x_{n})-A| < \varepsilon[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A[/latex] по Гейне, и покажем, что число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: [latex]\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon[/latex]. В качестве [latex]\delta[/latex] рассмотрим [latex]\delta = \frac{1}{n}[/latex], а соответствующие значения [latex]x_{\delta }[/latex] будем обозначать [latex]x_{n}[/latex]. Тогда при любом [latex]n\in N[/latex] выполняются условия [latex]|x_{n}-a|<\frac{1}{n}[/latex] и [latex]|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon[/latex]. Отсюда следует, что последовательность  является подходящей, но число [latex]A[/latex] не является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex]. Получили противоречие.

3. Примеры

Пример 3.1.

а) [latex]\lim\limits_{x\rightarrow 2 } x^{2} = 4[/latex]

[latex]\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x:0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon[/latex][latex]|x^{2}-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|<5\delta <\varepsilon \Rightarrow 0<\delta <\frac{\varepsilon }{5}[/latex] , например [latex]\delta =\frac{\varepsilon }{6}[/latex]

б) [latex]\forall\left \{ x_{n} \right \}\rightarrow 2[/latex]                                                                                 [latex]\lim\limits_{n\rightarrow 2 } f(x_{n}) =\lim\limits_{n\rightarrow 2} x_{n}^{2}=4[/latex]

Пример 3.2.

Доказать, что [latex]f(x)=\sin \frac{1}{x}[/latex] не имеет предела в точке 0.

[latex]\exists \left \{ {x_{n}}’ \right \}\rightarrow 0[/latex] [latex]\exists \left \{ {x_{n}}» \right \}\rightarrow 0[/latex]

[latex]\left \{ f({x_{n}}’) \right \}\rightarrow A_{1}[/latex] [latex]\left \{ f({x_{n}}») \right \}\rightarrow A_{2}[/latex]

[latex]{x_{n}}’:\sin \frac{1}{{x_{n}}’}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}’}=\pi n\Rightarrow {x_{n}}’ = \frac{1}{\pi n}\xrightarrow[ n\neq 0]{n\rightarrow \infty}0[/latex]                                                            [latex]{x_{n}}’= \frac{1}{\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}’)=0\rightarrow 0[/latex]                                                                                                [latex]{x_{n}}»:\sin \frac{1}{{x_{n}}»}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}»}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow {x_{n}}» = \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\xrightarrow[n\neq 0]{n\rightarrow \infty }0[/latex]                  [latex]{x_{n}}»= \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}»)=1\rightarrow 1[/latex]

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

Литература

• Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

 Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

Желаем удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 2

   Может ли функция иметь два разных предела в одной и той же точке?

   • Да, может.
   • Нет, не может.
   • Затрудняюсь ответить.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 2

   Отнесите заданные функции к соответствующему критерию.

   Элементы сортировки

   • $$\sin\frac{1}{x}$$
   • $$x^{2}$$

   • Не имеет предела в точке 0.

   • Имеет предел равный 4 при $$x\rightarrow 2$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2

   Что означает следующая фраза:

   [latex]x[/latex] принадлежит проколотой окрестности точки [latex]a[/latex]

   • $$0<|x-a|<\delta$$
   • $$|x-a|<\delta$$
   • $$x\in U_{\delta }(a)$$
   • $$x\in \dot{U_{\varepsilon }}(a)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   Определения по Коши и по Гейне…
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 2

   Дайте определение предела функции по Коши.

   • $$\forall \varepsilon >0$$
   • $$\exists \delta >0$$
   • $$\forall x: 0<|x-a|<\delta$$
   • $$|f(x)-A|<\varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Первым замечательным пределом называется равенство

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex] ,

где величина [latex]x[/latex] выражена в радианах.

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 8 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

Информация

Тест на использование первого замечательно предела

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 18 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 8

   1.

   Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Перечитайте теоретический материал
2. Задание 2 из 8

   2.

   Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ 5x}{x}[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Правильный ответ 5

   Подсказка

   Попробуйте замену [latex]t=5x;x=\frac{t}{5}[/latex]
3. Задание 3 из 8

   3.

   Найти предел [latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}[/latex], если m и n -целые числа

   • $$\frac{n}{m}$$
   • $$\frac{m}{n}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Попробуйте умножить числитель на [latex]m\cdot nx[/latex] и знаменатель на [latex]n\cdot mx[/latex]
4. Задание 4 из 8

   4.

   Найдите предел [latex] \lim_{x \to \infty }\frac{\sin\ x}{x}[/latex]

   • $$0$$
   • $$1$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Обращайте внимание на то к чему стремится переменая
5. Задание 5 из 8

   5.

   Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{\sin{x}-\sin{a}}{x-a}[/latex]

   • $$\sin{x}$$
   • $$\frac{1}{\sin{a}}$$
   • $$\cos{a}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 8

   6.

   Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{tg\ x-tg\ a}{x-a}[/latex]

   • $$\cos{a}$$
   • $$0$$
   • $$\frac{1}{\cos^2{a}}$$
   • $$x-a$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 8

   7.

   Найти предел [latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{\cos{x}}}{1-\cos{\sqrt{x}}}[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Правильный ответ 0
8. Задание 8 из 8

   8.

   Отсортируйте по значения пределов по возростанию

   • $$\lim_{x\to 0}x~ctg~3x$$
   • $$\lim_{x\to \pi/4}tg~2x~tg\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )$$
   • $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{5x}-\sin{3x}}{\sin{x}}$$
   • $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{x^2}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98). 

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Пусть функция $latex f$ интегрируема на отрезке $latex [a,b].$ Обозначим

$latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$   $latex (x \in [a,b]).$

Заштрихованная область под графиком функции $latex f(t)$ это значение нашей функции $latex F(x)$. Легко заметить, если $latex x$ будет стремиться к $latex b$ или $latex a$ то заштрихованная площадь увеличивается или уменьшается соответственно, следовательно и значение функции $latex F(x)$ также будет изменяться.

По свойству аддитивности интегрируемых функций, $latex f$ интегрируема на $latex [a,x]$ для любого $latex x \in [a,b].$
Поэтому функция $latex F$ определена на $latex [a,b].$ Заметим, что $latex F(a)=0.$ Функцию $latex F$ называют интегралом с переменным верхним пределом.

Нас в дальнейшем будут интересовать две характеристики этой функции, а именно непрерывность и дифференцируемость

Понятие интеграла с переменным верхним пределом нам будет необходимо при выведении основной формулы дифферендицального исчисления.

Литература :

• Конспект по математическому анализу (преп. Лысенко З.М.)
• Курс лекций по математическому анализу (В. И. Коляда, А. А. Кореновский) том 1, стр.203

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Этот тест проверит ваши знания по теме «Определение интеграла с переменным верхним пределом»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Выберите, где по вашему мнению правильно записано определение интеграла с переменным верхним пределом.

   • $$F(x) = \int_{x}^{a} f(t)dt, x \in [a,b] , где f - дифференцируемая, на [a,b] функция.$$
   • $$F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt, x \in [a,b] , где f - дифференцируемая, на [a,b] функция.$$
   • $$F(x) = \int_{a}^{b} f(x)dx, x \in [a,b] , где f - дифференцируемая, на [a,b] функция.$$
   • $$F(x) = \int_{a}^{t} f(x)dx, x \in [a,b] , где f - дифференцируемая, на [a,b] функция.$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 7

   2.

   Чему равно следующее выражение? $latex \int_{x}^{x} f(t)dt$,   где $latex (x \in [a,b])$. и $latex f$ интегрируема на отрезке $latex [a,b].$

   • ∞
   • 0
   • Это невозможно
   • 1
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 7

   3.

   Существует ли интеграл с переменным верхним пределом от функции интегрируемой на $latex [a,b]$ для $latex x \notin [a,b]$

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 7

   4.

   Какие характеристики функции $latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$ нас в дальнейшем будут интересовать больше всего?

   • Непрерывность
   • Дифференцируемость
   • Ограниченость
   • Интегрируемость
   • Монотонность
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 7

   5.

   Для чего нам в дальнейшем пригодится понятие функции называемой интегралом с переменным верхним пределом.

   • Для выведения основной формулы дифференциально исчисления.
   • Для решения задач.
   • Просто так.
   • Для нахождения производных.
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 7

   6.

   Напишите хотя бы одно свойство присущее интегралу Римана.
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 7

   7.

   «Соберите по кусочкам» определение интеграла с переменным верхним пределом.

   Элементы сортировки

   • $$F(x)$$
   • $$=$$
   • $$\int_{a}^{x}$$
   • $$f(t)$$
   • $$dt$$
   • $$\leq$$
   • $$F'(x)$$

   • 1)

   • 2)

   • 3)

   • 4)

   • 5)

   Правильно
   

   Неправильно
   

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   
   Функция $f(x)$ называется непрерывной слева, если

   • $\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)$
   • $\exists \lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)$
   • $\forall x\in (a-\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$
   • $\forall x\in (a+\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • $\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon$
   • $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A$
   • $\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A|<\varepsilon$
   • $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A$

   • Определение левостороннего предела по Коши

   • Определение левостороннего предела по Гейне

   • Определение правостороннего предела по Коши

   • Определение правостороннего предела по Гейне

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция $f(x)$ имеет предел в точке $a$ тогда и только тогда, когда существуют (равные, одинаковые) между собой (односторонние) пределы в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   
   Найти односторонние пределы функции $f(x)=\frac{1}{x}$ при $x\rightarrow 0$:

   • Правый предел = $+\infty$
   • Левый предел = $-\infty$
   • Правый предел = $-\infty$
   • Левый предел = $+\infty$
   Правильно
   

   Неправильно