Пусть дана система линейных уравнений (СЛАУ) $$\left.\begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & \cdots & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1}x_{2} & + & \cdots & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \end{matrix}\right\},$$ где $a_{11}, a_{1n}, a_{m1}, a_{mn}$ — числовые коэффициенты, $x_{1},x_{2},x_{3}$ — переменные, $b_{1},b_{m}$ — свободные члены.
Обозначим матрицу-столбец неизвестных $(X)$, матрицу коэффициентов при неизвестных $(A)$ и столбец правых частей $(B)$: $$X = \begin{Vmatrix} x_{1}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{Vmatrix}, \quad A = \begin{Vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix},\quad B=\begin{Vmatrix}b_{1}\\ \vdots \\ b_{m}\end{Vmatrix}.$$
Соотношения, задаваемые системой, запишем в виде матричного уравнения $(A \cdot X = B)$: $$\begin{Vmatrix}x_{1}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{Vmatrix}\cdot \begin{Vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}b_{1}\\ \vdots \\ b_{m}\end{Vmatrix}.$$
Исходя из вышеуказанного уравнения получаем, что каждый его столбец-решение является частным решением системы. Данное утверждение двойственно. Также можно утверждать, что каждое частное решение системы, записанное в виде столбца, будет решением матричного уравнения.
Теорема. Пусть задана СЛАУ от $n$ неизвестных с квадратной невырожденной матрицей над полем $P$. Тогда общее решение такой системы содержит лишь одно частное решение $(x_{1}^{0}, \; x_{2}^{0}, \; \cdots , \; x_{n}^{0}) \in P^{n}$, которое находится по формуле $x_{i}^{0} = \frac{\Delta_{i}}{\Delta}, \; i = 1, \; \ldots \;,n$, где $\Delta$ — определитель матрицы системы, а $\Delta_{i}$ — определитель, получаемый из этой матрицы заменой $i$-го столбца столбцом свободных членов системы.
Докажем теорему, воспользовавшись матричным уравнением $A \cdot X = B:$ $$\begin{Vmatrix}x_{1}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{Vmatrix}\cdot \begin{Vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}b_{1}\\ \vdots \\ b_{m}\end{Vmatrix}.$$
Единственность. Пусть имеется решение уравнения $X_{0}$. Тогда $A \cdot X_{0} = B$. Так как определитель матрицы отличен от нуля можем быть уверены, что существует обратная к $A$ матрица $A^{-1}$. Умножим обе части равенства слева на $A^{-1}$: $$ A^{-1} \cdot\left(A \cdot X_{0}\right)=\left(A^{-1} \cdot A\right) \cdot X_{0}=E \cdot X_{0}=X_{0}=A^{-1} \cdot B.$$ Следовательно, если решение существует, то оно неизбежно будет равно $A^{-1} \cdot B$.
Существование. Сделаем замену: $X_{0} = A^{-1} \cdot B$. Подставим в уравнение: $$ A \cdot\left(A^{-1} \cdot B\right)=\left(A \cdot A^{-1}\right) \cdot B=E \cdot B=B.$$ Делаем вывод что, решение существует. Используя явное представление обратной матрицы, можем показать явный вид решения: $$A^{-1} \cdot B=\Delta^{-1} \cdot\begin{Vmatrix} A_{11} & \ldots & A_{n1}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ A_{1n} & \ldots & A_{nn} \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{Vmatrix} = \Delta^{-1} \cdot \begin{Vmatrix} \sum\limits_{j = 1}^{n} A_{j1} \cdot b_{j}\\ \vdots\\ \sum\limits_{j = 1}^{n} A_{jn} \cdot b_{j} \end{Vmatrix}.$$
Заменив соответствующий столбец из определителя матрицы системы столбцом свободных членов системы, получим суммы, представляющие собой искомые нами определители. Теорема доказана.
Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера
- Находим определитель матрицы искомой системы $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}$. Определитель обязательно должен быть отличен от нуля.
- Находим определители матриц $\Delta_{x_{n}} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{n} \end{vmatrix}$, в которых $k$-ые столбцы $(k = 1,2, \; \ldots, n)$ заменены на столбец свободных членов системы.
- Вычисляем неизвестные переменные по формуле: $x_{n} = \frac{\Delta_{x_{n}}}{\Delta }$.
- Выполняем проверку решения, подставив $x_{k} (k = 1,2, \ldots, n)$ в исходную систему. Все уравнения системы должны быть тождественно равны.
Некоторые следствия из теоремы Крамера
Следствие 1. Если определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю и все определители «вспомогательных» (в которых $i$-ый столбец заменен на столбец свободных членов) матриц равны нулю, то система имеет бесконечное количество решений.
Следствие 2. Если определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю, но хотя бы один из определителей «вспомогательных» матриц отличен от нуля, то система не имеет решений.
Следствие 3. Если определитель матрицы из коэффициентов системы отличен от нуля, то система имеет решение, причём единственное.
Примеры решения задач
-
Решить систему уравнений методом Крамера $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}- x_{2}- x_{3}=4 \\ 3 x_{1}+4x_{2}-2 x_{3}=11 \\ 3 x_{1}-2 x_{2}+4x_{3}=11 \end{array}\right.$$
Решение
Вычислим определитель матрицы системы с помощью правила треугольника: $$ \Delta = \left|\begin{array}{} 2& -1& -1 \\ 3& 4& -2 \\ 3& -2& 4 \end{array}\right| = 60,$$ $\Delta = 60 \neq 0$, значит эта система имеет решение, причем единственное.
Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 4 & -1& -1\\ 11& 4& -2\\ 11& -2& 4 \end{vmatrix} = 180,$$ $$\Delta_{2} = \begin{vmatrix} 2& 4& -1\\ 3& 11& -2\\ 3& 11& 4 \end{vmatrix} = 60,$$$$\Delta_{3} = \begin{vmatrix} 2& -1& 4\\ 3& 4& 11\\ 3& -2& 11 \end{vmatrix} = 60.$$
Находим неизвестные $x_{n} = \frac{\Delta _{n}}{\Delta}:$ $$x_{1} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{180}{60} = 3;$$ $$x_{2} =\frac{\Delta_{2}}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1;$$ $$x_{3} =\frac{\Delta_{3}}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1;$$ Ответ:$\; x_{1} = 3; \; x_{2} = 1; \; x_{3} = 1$.
[свернуть] -
Решить систему уравнений методом Крамера $$ \left\{\begin{matrix} ax — 3y = 1 \\ 2x +ay = 2 \end{matrix}\right.$$
Решение
Здесь $a$ — некое вещественное число. Найдем определитель системы: $$\Delta =\begin{vmatrix} a & -3\\ 2& a \end{vmatrix} = a^{2} + 6.$$
Находим дополнительные определители $\Delta_{i}$($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов):$$ \Delta_{x} = \begin{vmatrix} 1 & -3\\ 2 & a \end{vmatrix} = a+6,$$ $$\Delta_{y} = \begin{vmatrix} a & 1\\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2a-2 = 2(a — 2).$$ Находим неизвестные: $$x = \frac{a + 6}{a^{2} + 6},$$ $$y = \frac{2(a — 1)}{a^{2} + 6}.$$
[свернуть] -
Решить систему уравнений методом Крамера $$ \left\{\begin{array}{} x_{1}+ x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ 2 x_{1}- x_{2}+2 x_{3}=-4 \\ 4 x_{1}+x_{2}+4_{3}=-2 \end{array}\right. $$
Решение
Вычислим определитель матрицы с помощью правила треугольника: $$\Delta = \begin{vmatrix} 1& 1& 2\\ 2& -1& 2\\ 4& 1& 4 \end{vmatrix} = 6,$$ $\Delta = 6 \neq 0$, значит эта система имеет решение, причем единственное.
Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} -1& 1& 2\\ -4& -1& 2\\ -2& 1& 4 \end{vmatrix} = 6,$$ $$ \Delta_{2} = \begin{vmatrix} 1& -1& 2\\ 2& -4& 2\\ 4& -2& 4 \end{vmatrix} = 12,$$ $$ \Delta_{3} = \begin{vmatrix} 1& 1& -1\\ 2& -1& -4\\ 4& 1& -2 \end{vmatrix} = -12.$$
Находим неизвестные $x_{n} = \frac{\Delta _{n}}{\Delta}:$ $$x_{1} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{6}{6} = 1;$$ $$x_{2} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{12}{6} = 2;$$ $$x_{3} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{-12}{6} = -2;$$ Ответ:$\; x_{1} = 1; \; x_{2} = 2; \; x_{3} = -2$.
[свернуть] -
Найти количество решений у системы уравнений $$ \left\{\begin{array}{} 2 x_{1}+ 3x_{2}- x_{3}=3 \\ 4 x_{1}+6x_{2}-2x_{3}=6 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-1 \end{array}\right.$$
Решение
Вычислим определитель матрицы с помощью правила треугольника: $$\Delta = \begin{vmatrix} 2& 3& -1\\ 4& 6& -2\\ 3& -1& 2 \end{vmatrix} = 0,$$ $\Delta = 0$, значит эта система имеет либо бесконечное количество решений, либо вообще не имеет.
Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$ \Delta_{1} = \begin{vmatrix} 3& 3& -1\\ 6& 6& -2\\ -1& -1& 2 \end{vmatrix} = 0,$$ $$ \Delta_{2} = \begin{vmatrix} 2& 3& -1\\ 4& 6& -2\\ 3& -1& 2 \end{vmatrix} = 0,$$ $$ \Delta_{3} = \begin{vmatrix} 2& 3& 3\\ 4& 6& 6\\ 3& -1& -1 \end{vmatrix} = 0.$$
По следствию 1 выясняем, что система уравнений имеет бесконечное количество решений.
[свернуть] -
Решить систему уравнений методом Крамера $$ \left\{\begin{array}{}2x_{1}+6x_{2}+4x_{3}=8 \\x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=8 \\x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=17\end{array}\right.$$
Решение
Вычислим определитель матрицы с помощью правила треугольника: $$\Delta = \begin{vmatrix} 2& 6& 4\\ 1& 5& 4\\ 1& 5& 7 \end{vmatrix} = 12,$$ $\Delta = 12 \neq 0$, значит эта система имеет решение, причем единственное.
Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$ \Delta_{1} = \begin{vmatrix} 8& 6& 4\\ 8& 5& 4\\ 17& 5& 7 \end{vmatrix} = 12,$$ $$ \Delta_{2} = \begin{vmatrix}2& 8& 4\\ 1& 8& 4\\ 1& 17& 7 \end{vmatrix} = -12,$$ $$ \Delta_{3} = \begin{vmatrix} 2& 6& 8\\ 1& 5& 8\\ 1& 5& 17 \end{vmatrix} = 36.$$
Находим неизвестные $x_{n} = \frac{\Delta _{n}}{\Delta}:$ $$x_{1} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{12}{12} = 1;$$ $$x_{2} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{-12}{12} = -1;$$ $$x_{3} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{36}{12} = 3;$$ Ответ:$\; x_{1} = 1; \; x_{2} = -1; \; x_{3} = 3$.
[свернуть]
Тест на знание темы «Теорема Крамера».
Смотрите также
- Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
- Курош А.Г., Курс высшей алгебры М.: Наука, 1972, 10-ое издание, Глава 1, $\S$ 7, «Теорема Крамера» (стр. 53 — 59)
- Фадеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука. Главна редакция физико-математической литературы, 1984.-416с. (стр. 106 — 108)
- Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре М.: Наука, 1972, 10-ое издание, Глава 3, $\S$ 1, «Теорема Крамера» (стр. 56)