Пусть дано множество [latex]A\ne\oslash[/latex]. Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:
- [latex]R[/latex]-рефлексивно, т.е. [latex]\forall a \in A: aRa[/latex].
- [latex]R[/latex]-антисимметрично [latex]\forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b[/latex].
- [latex]R[/latex]-транзитивно [latex]\forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc [/latex].
Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется строгим отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:
- [latex]R[/latex]-рефлексивно, т.е. [latex]\forall a \in A: aRa[/latex]-не выполняется.
- [latex]R[/latex]-антисимметрично [latex]\forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b[/latex].
- [latex]R[/latex]-транзитивно [latex]\forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc [/latex].
Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением линейного порядка тогда и только тогда, когда:
- [latex]R[/latex] является отношением частичного порядка.
- [latex]\forall a,b \in A: aRb \oplus bRa[/latex].
Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением полного порядка тогда и только тогда, когда:
- [latex]R[/latex] является отношением линейного порядка.
- [latex]\forall\, B \in A \;\exists a \in B\; \forall b \in B: aRb[/latex].
Пример:
Доказать, что «[latex]\le[/latex]» является отношением частичного порядка:
«[latex]\le[/latex]» [latex]\subseteq R^2[/latex]:
- Рефлексивно,т.к. [latex]a\le a\; \forall a \in R[/latex].
- Антисимметрично,т.к.[latex] a\le b \cap b\le a \Rightarrow a=b[/latex].
- Транзитивно,т.к.[latex] a\le b \cap b \le c \Rightarrow a\le c[/latex].
Из вышеизложенного следует, что «[latex]\le[/latex]» на [latex]R[/latex]- отношение частичного порядка.
Литература:
- Конспект лекций С.В. Федоровского
- Отношение частичного порядка
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 44-45 c.
Отношение порядка
Тест на тему «Отношение порядка»: