Метка: оценка интеграла

$\square$ Пусть $x _{0} \in (a,b) :\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})> 0$. Тогда

$\exists \; U_{\delta }(x_{0}):f(x)> \frac{f(x_{0})}{2}$,

следовательно

$\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}\frac{f(x_{0})}{2} dx = \frac{f(x_{0})}{2}\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}dx =\frac{f(x_{0})}{2}\cdot 2\delta> 0$.

Так как имеют место неравенства

$\int\limits_{a}^{x_{0}-\delta} f(x) dx \geqslant 0, \int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx > 0 , \int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx \geqslant 0$

и

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \int\limits_{a}^{x_{0}-\delta}f(x)dx +\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx+\int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx$,

то получим $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx >0$.$\blacksquare$

$\square$

$\left | \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \right | \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n}\left | f(\xi_{i}) \right |\Delta x_{i}$,

т.е.

$\left|\delta_{T}(f,\xi)\right|\leqslant\delta_{T} (\left|f\right|,\xi)$.

Переходя к пределу при ранге разбиения стремящемуся к нулю, получим

$\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx$.$\blacksquare$