Оценка модуля интеграла

Свойство 3 (оценка модуля интеграла)

Пусть $latex f \in R[a,b] (aнепрерывности функции f, тогда

\int\limits_{a}^{b}f(x)dx> 0.

Спойлер

\square Пусть x _{0} \in (a,b) :\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})> 0 . Тогда

\exists \; U_{\delta }(x_{0}):f(x)> \frac{f(x_{0})}{2},

следовательно

\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}\frac{f(x_{0})}{2} dx = \frac{f(x_{0})}{2}\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}dx =\frac{f(x_{0})}{2}\cdot 2\delta> 0.

Так как имеют место неравенства

\int\limits_{a}^{x_{0}-\delta} f(x) dx \geqslant 0, \int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx > 0 , \int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx \geqslant 0

и

\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \int\limits_{a}^{x_{0}-\delta}f(x)dx +\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx+\int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx,

то получим \int\limits_{a}^{b}f(x)dx >0.\blacksquare

[свернуть]
Замечание

Условие непрерывности функции f(x) в точке x_{0}, где f(x_{0})>0 существенно. Например, пусть

f(x)=\left\{\begin{matrix}  0, &0<x\leqslant 1, \\  1,&x=0.  \end{matrix}\right.

Поскольку \int\limits_{0}^{1}f(x)dx=0, то неверно, что \int\limits_{0}^{1}f(x)dx>0.

Это можно проиллюстрировать на графикеexample_modular_integral_evaluation

Свойство 4 (оценка модуля интеграла)

Если f\in R[a,b], то  \left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx.

Спойлер

\square

\left | \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \right | \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n}\left | f(\xi_{i}) \right |\Delta x_{i},

т.е.

\left|\delta_{T}(f,\xi)\right|\leqslant\delta_{T} (\left|f\right|,\xi).

Переходя к пределу при ранге разбиения стремящемуся к нулю, получим

\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx.\blacksquare

[свернуть]
Замечание

Если f(x) — интегрируема на отрезке с концами [a,b], то

\left | \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \right | \leqslant \left | \int\limits_{a}^{b} \left | f(x)dx \right |\right |.

Литература
Смотрите так же

Оценка модуля интеграла: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *