Интегралы от некоторых функций не могут быть выражены через элементарные функции. Для нахождения таких интегралов применяются различные приближённые методы интегрирования, смысл которых состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию на «близкую» к ней функцию, проинтегрировав которую, мы получим элементарную функцию.
В частности, мы рассмотрим один из таких методов — разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора.
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.
Проиллюстрируем данный метод на примере (вычислим с точностью до 0,001):
1) [latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}dx[/latex]
График функции [latex]e^{-2x^{2}}[/latex] имеет следующий вид:
Данная функция непрерывна на отрезке [0;0.3], а значит она интегрируема.
Значение данного определённого интеграла — площадь заштрихованной области графика.
Разложим функцию [latex]e^{-2x^{2}}[/latex] в ряд Маклорена, используя табличное разложение
[latex]e^{\alpha}=[/latex] [latex]1+\frac{\alpha}{1!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+…+\frac{\alpha^{n}}{n!}[/latex]
В данном случае [latex]\alpha=-2x^{2}[/latex](для достижения нужной точности распишем 4 первых члена ряда)
[latex]e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex]1+\frac{-2x^{2}}{1!}+\frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+[/latex] [latex]\frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+…[/latex]
Меняем подынтегральное выражение на данный степенной ряд
[latex]\int\limits_{0}^{0.3} (1+\frac{-2x^{2}}{1!}+[/latex] [latex]\frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+\frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+…)dx[/latex]
Упрощаем все слагаемые
[latex]\int\limits_{0}^{0.3} (1-2x^{2}+2x^{4}[/latex] [latex]-\frac{4x^{6}}{3}+…)dx[/latex]
Почленно интегрируем подынтегральное выражение
[latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex](x-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}-\frac{4x^{7}}{21}+…)\mid_{0}^{0.3}[/latex]
Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница
[latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex]0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+…=[/latex] [latex]0.3-0.018+0.000972-…\approx[/latex]
[latex] \approx0.3-0.018=0.282[/latex]
Для достижения точности 0.001 нам хватило взять первые два члена ряда.
Рассмотрим ещё пример (вычислим с точностью до 0,0001):
2) [latex]\int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx[/latex]
Так как интегрирование производится в окрестности точки [latex]x=0[/latex], то можно воспользоваться формулой Маклорена.
Разложение функции
[latex]\cos(x)=[/latex] [latex]1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}[/latex] [latex]+…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=0}^\infty{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}[/latex]
Отсюда легко найдём разложение функции [latex]1-\cos(x)[/latex]
[latex]1-\cos(x)=[/latex] [latex]\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}[/latex] [latex]+…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}[/latex]
Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение
[latex]\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=[/latex] [latex]\frac{{1}}{2!}+\frac{x^{2}}{4!}-\frac{x^{4}}{6!}[/latex][latex]+…+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}[/latex]
Представим наш интеграл в виде
[latex]\int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=[/latex] [latex]\int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx[/latex]
Далее представим интеграл от суммы членов ряда в виде суммы интегралов членов ряда
[latex]\int\limits_{0}^{0.5}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=[/latex] [latex]\int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx= [/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}\int\limits_{0}^{0.5}x^{2n-2}dx=[/latex]
[latex]=\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{ x^{2n-1}}{(2n-1)}}\mid_{0}^{0.5}=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{{0.5}^{2n-1}}{(2n-1)}}\approx0.25-0.0017=0.2483[/latex]
Для достижения точности 0.0001 нам хватило взять первые два члена ряда.
Литература :
- Конспект практики по математическому анализу (преп. Лысенко З.М.)
- Сайт mathprofi.ru. Автор — Александр Емелин
- Сайт ru.convdocs.org
Приближённое интегрирование
Данный тест поможет Вам усвоить материал этой записи.
Таблица лучших: Приближённое интегрирование
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |