Метка: о маленькое

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое ($O$ и $o$).

Определение:

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$, причем в этой окрестности $g$ не обращается в ноль. Говорят, что:

• $f$ является «О» большим от $g$ при $x\to x_0$ и пишут $f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$ имеет место неравенство $|f(x)| \leq C |g(x)|$;
• $f$ является «о» маленьким от $g$ при $x\to x_0$ и пишут $f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$, если для любого $\varepsilon >0$ найдется такая проколотая окрестность $U’_{x_0}$ точки $x_0$, что для всех $x \in U’_{x_0}$ имеет место неравенство $|f(x)|<\varepsilon|g(x)|$.

Иначе говоря, в первом случае отношение $|f|/|g|$ в окрестности точки $x_0$ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при $x\to x_0$, то есть функция $f$ является бесконечно малой в сравнении с $g$.

Примеры:

$x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;$
$\sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;$
$-x^3={O(x)}$, т.к. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2;$ а функция $-x^2$ ограничена сверху в окрестности точки 0.
$\sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x;$ а функция $\sin x$ всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций $f=f(x),\:g=g(x)$ и $x \epsilon \mathbb{R}$ справедливы равенства:

1. $o(f)+o(f)=o(f);$
2. $o(f)$ тем более есть $O(f);$
3. $o(f)+O(f)=O(f);$
4. $O(f)+O(f)=O(f);$
5. $\frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)})$ и $\frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}),$ если $g\neq 0;$ 
6. $o(o(f))=o(f);$
7. $o(Cf)=o(f);$
8. $C\cdot o(f)=o(f);$
9. $o(f+o(f))=o(f);$
10. $o(f)\pm o(f)=o(f);$
11. $o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};$
12. $(o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N}$ .

Примеры:

$\underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}$
$\underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$
$\underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$.

Символ Ландау

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Символ Ландау»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из следующих символов являются символами Ландау?

   • $$O$$
   • $$o$$
   • $$L$$
   • $$\bigodot$$
   • $$\Lambda$$
   • $$\sigma$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   $f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$
   Какое из следующих утверждений всегда верно для отношения $\frac{f}{g}$ в окрестности точки $x_0$?

   • Это отношение ограничено сверху в окрестности этой точки.
   • Это отношение ограничено сверху и больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к нулю в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к бесконечности в окрестности этой точки.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вопрос на знание свойств
   $o(f)$ тем более есть …
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны две функции $f$ и $g$.
   $f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$

   • Тогда мы можем говорить, что функция f является (бесконечно) (малой) в сравнении с функцией g.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вопрос на знание свойств
   Соотнесите следующие выражения с ответом.

   Элементы сортировки

   • $$o(f)+O(f)$$
   • $$o(f+o(f))$$
   • $$(o(f))^n$$
   • $$o(f^n)\cdot o(f^m)$$

   • $$O(f)$$

   • $$o(f)$$

   • $$o(f^n)$$

   • $$o(f^{n+m})$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «О большое и о малое»
   
3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (часть 1), 2009, параграф 4.12, с.103-104

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ определены функции $f,g$ и $\alpha$, такие, что имеют место соотношения $f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$, то функцию $f$ называют бесконечно малой функцией в сравнении с $g$ при $x\to x_0$ и пишут $f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}$ .

Замечание:

Если $\forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0$, то $\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ .

Примеры:

$x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}$, т.к. $\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0$

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$
$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$.

Определение:

• В случае, когда в записи $f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$   $g$ — бесконечно малая функция, говорят, что $f$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $g$, $g$ — бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем $f$.

• В случае, когда в записи $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$, $f$ и $g$ — бесконечно малые функции при $x\to x_0$, говорят, что $f$ и $g$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
• В случае, когда в записи $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$  $g$ — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция $f$ имеет $m$-й порядок малости относительно функции $g$.

Примеры:

$x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0$. $x^2$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $x$;
$x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)};$ т.к. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$ (т.к. $sin \frac{1}{x}$ — ограниченная функция). $x^3 sin\frac{1}{x}$ — функция более высокого порядка малости, чем $x$;
$\tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0$. $\tan^2 x$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $x$;
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$. Функции $\tan x$ и $x$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1$. $\tan^6 x$ имеет 6-й порядок малости относительно $x$.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из этих функций являются бесконечно малыми в сравнении с $g(x)=x$ при $x\to +0$?

   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$\sin x$$
   • $$\ln x$$
   • $$\ln (1+x)$$
   • $$x^2$$
   • $$\tan^2 x$$
   • $$0$$
   Правильно
   

   Все правильно.

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Функция $\tan^4 x\cdot\sin^5 x\cdot\ln^2(1+x)$ является бесконечно малой функцией при $x\to 0$ какого порядка малости относительно $x$?

   • 1
   • 2
   • 4
   • 5
   • 11
   • Все вышеперечисленные
   Правильно
   

   Верно, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^4 x\cdot\sin^5\cdot\ln^2(1+x)}{x^{11}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^{11}}{x^{11}}=1$.

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   $f$ и $g$ — бесконечно малые функции при $x\to x_0$.
   Равносильны ли следующие два утверждения?

   • $f$ является бесконечно малой функцией 1-го порядка малости относительно $g$ при $x \to x_0$;
   • $f$ и $g$ являются бесконечно малыми функциями одинакового порядка малости при $x \to x_0$.

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Верно.

   Неправильно
   

   Неправильно, оба этих утверждения можно записать в виде $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{g^1(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны бесконечно малые функции $f,g$ при $x\to x_0$.
   Имеет ли смысл следующее утверждение?

   $f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}, g(x)=\underset{x\to x_0}{o(f(x))}$

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Правильно, по определению выходит, что $f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.

   Неправильно
   

   Неверно, по определению выходит, что $f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Расставьте следующие функции по УБЫВАНИЮ порядка малости относительно $x, x\to 0$.

   • $$tan^6 x\sqrt{\sin^5 x}$$
   • $$tan^6 x\sqrt{\sin\sqrt[5]{x}}$$
   • $$x\sqrt[3]{\sin^2 x\tan^4 x}$$
   • $$\ln^2(1+x)$$
   • $$\ln (1+x)^2$$
   • $$\sqrt{x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература:

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 2, §3, с. 136-137