Метка: параллельные прямые

М1654. Задача о медиане и биссектрисе неравнобедренного треугольника

Задача из журнала «Квант» (1998 год, 5 выпуск)

Условие

Через основание $L$ и $M$ биссектрисы $BL$ и медианы $BM$ неравнобедренного треугольника $ABC$ провели прямые параллельно, соответственно, сторонам $BC$ и $BA$ до пересечения с прямыми $BM$ и $BL$ в точка $D$ и $E$. Докажите, что угол $BED$ прямой.

Рис. 1

Первое решение

Обозначим $O=LD \cap ME$, и пусть точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$ (именно такое расположение было предложено рассмотреть на олимпиаде). $ME$ — медиана треугольника $MBC$ (Рис.1), а значит, и треугольника $MDL$, т.е. $OL=OD$. Далее $\angle DLB = \angle LBC,\; \angle MEL = \angle ABL = \angle LBC$. Получили: $\angle MEL = \angle DLB, \; OL= OE$.

Итак, в треугольнике $LED$ медиана $EO$ равна половине стороны $LD$. Следовательно, угол $DEL$ прямой, откуда сразу следует утверждение задачи.

Случай внешнего расположения точки $O$ рассматривается аналогично. А можно и не рассматривать этот случай, а просто сослаться на такое почти очевидное предложение.

Рис. 2

Лемма. Пусть $B$ и $C$ — произвольные точки на выходящих из $A$ лучах (Рис.2), $BD \parallel CK, \; CE \parallel BF$. Тогда и $ED \parallel KF$.

Следует из теоремы Фалеса; легко получить его с помощью векторов.

С помощью векторов нетрудно получить и естественное решение исходной задачи.

Второе решение

Рис. 3

Ниже мы будем рассматривать векторы в базисе $\{\vec{a} , \; \vec{c} \}, \;$ где $\vec{a} = \vec{BC},\; \vec{c} = \vec{BA}, \;$ длины этих векторов обозначим через $a$ и $c$ соответственно.

Имеем: $\displaystyle \vec{BL}=\vec{c} + \frac{c}{a+c} \Big( \vec{a} — \vec{c} \Big) = \frac{1}{a+c}\Big(a \vec{c} + c \vec{a} \Big)$.

Обозначим $\vec{BE} = \alpha \vec{BL}$, тогда $$ \alpha \vec{BL} + \vec{EM} = \vec{BM} =\frac{1}{2} \Big( \vec{a} + \vec{c} \Big).$$ Приравняем проекции левой и правой частей этого равенства на вектор $\displaystyle \vec{a}: \frac{\alpha c}{a+c} = \frac{1}{2}$, откуда $\displaystyle \alpha = \frac{a+c}{2c}$.

Аналогично, положив $\vec{BD} = \beta \vec{BM}$, получим $\beta \vec{BM}+\vec{DL}=\vec{BL}$; проектируя обе части этого равенства на $\vec{c}$, находим $\displaystyle \frac{\beta}{2}=\frac{a}{a+c}$.

Получили $\displaystyle \vec{BE} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{a}{2c} \vec{c},\; \vec{BD} = \frac{a}{a+c} \Big(\vec{a} + \vec{c} \Big)$. Таким образом, $\displaystyle\frac{\vec{BE}}{a} = \frac{1}{2}\left( \frac{\vec{a}}{a} + \frac{\vec{c}}{c}\right)$ — это высота треугольника, построенного на единичных векторах $\displaystyle \frac{\vec{a}}{a}$ и $\displaystyle \frac{\vec{c}}{c}$. Далее, $\displaystyle \frac{\vec{BE}}{a} = \frac{1}{a+c}\left(a \cdot \frac{\vec{a}}{a}+c \cdot \frac{\vec{c}}{c}\right)$ — (внутренняя) точка основания этого треугольника, отличная от основания высоты. Поэтому очевидно(Рис.3), что $\displaystyle \frac{\vec{BD}}{a}-\frac{\vec{BE}}{a}\bot\vec{BE}$ — и утверждение задачи доказано.

Разумеется, к этому решению можно было подойти более формально: вектор $\displaystyle \vec{BD}-\vec{BE}=\frac{a \left( a-c \right)}{2 \left( a+c \right)} \left(\frac{\vec{a}}{a}-\frac{\vec{c}}{c}\right) $ параллелен основанию треугольника. А можно было и воспользоваться понятием скалярного произведения векторов: $$\displaystyle \left( \vec{BD}, \vec{BE} \right) = \frac{a^2}{2} \left( 1+\frac{\Big( \vec{a}, \vec{c} \Big)}{ac} \right), $$ $$\displaystyle \left( \vec{BE}, \vec{BE} \right) = \frac{a^2}{2} \left( 1+\frac{\Big( \vec{a}, \vec{c} \Big)}{ac} \right).$$

А. Акопян, В. Сендеров

М1864. О сумме квадратов длин попарно параллельных отрезков

Задача из журнала «Квант» (2003 год, 3 выпуск)

Условие

В квадрат $ABCD$ вписана ломаная $MKALN$ такая, что $\angle MKA = \angle KAL = \angle ALN = 45^{\circ}(рис. 1).$ Докажите, что $$MK^2 + AL^2 = AK^2 + NL^2.$$

рис. 1

Симметрично отобразим $\triangle ABK$ относительно гипотенузы $AK$, а $\triangle ADL$ $-$ относительно гипотенузы $AL$ (рис.$2$). При этом точки $B$ и $D$ склеятся в точку $P$, так как $AB$ = $AD$, $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$ и $AP$ является высотой $\triangle AKL$.

рис. 2
Более того, при этом точки $M$ и $N$ склеятся в точку $Q$, где $Q$ $-$ ортоцентр $\triangle AKL$. Это произойдет потому, что $\angle QLA = \angle QKA = \angle KAL = 45^{\circ},$ из чего следует, что прямые $QL$ и $QK$ $-$ высоты $\triangle AKL$, а три высоты пересекаются в одной точке.

Сразу делаем вывод: $BM = DN.$

Используя теорему Пифагора сначала для $\triangle ABK$ и $\triangle MBK$, а затем для $\triangle ADL$ и $\triangle NDL$ получаем $AB^2 — BM^2 = AK^2 — MK^2$ и $AD^2 — DN^2 = AL^2 — NL^2.$

Окончательно получим $MK^2 + AL^2 = AK^2 + NL^2,$ что и требовалось доказать.

Дополнительно можно доказать, что $AM = AN = KL$ и что пять точек $M,$ $K,$ $A,$ $L$ и $N$ принадлежат одной окружности.

В. Произволов

Некоторые дополнения

$1$.При симметричном отображении $\triangle$$ABK$ относительно гипотенузы $AK$ мы получаем $\triangle APK$, в котором $AB = AP$, $BK = KP$, $MK = KQ$, $BM = QP$, $\angle MKA = \angle AKQ = 45^{\circ}$, $\angle BKM = \angle PKQ$.

Аналогично, при симметричном отображении $\triangle ADL$ относительно гипотенузы $AL$ мы получаем $\triangle APL$, в котором $AD = AP$, $LD = LP$, $NL = QL$, $ND = QP$, $\angle ALN = \angle ALQ = 45^{\circ}$, $\angle NLD = \angle QLK$.

Таким образом, так как $$BM = QP,$$$$ND = QP,$$ тогда, по транзитивности, $$ND = BM.$$

$2$. Докажем, что $Q$ — ортоцентр $\triangle AKL$. Для этого воспользуемся рис.$3$.

рис.3

$AP \perp KL$. Проведем через точки $K$ и $Q$ прямую до пересечения с прямой $AL$, $$KQ \cap AL = K_{1}.$$ Также проведем прямую, проходящую через точки $L$ и $Q$ и пересекающую прямую $AK$, $$QL \cap AK = L_{1}.$$ Так как $AP$ — высота $\triangle AKL$. Осталось показать, что $KK_{1}$ и $LL_{1}$ — высоты $\triangle AKL$.

Рассмотрим $\triangle AKK_{1}$, в нём $$\angle KAK_{1} = \angle AKK_{1} = 45^{\circ},$$ тогда $$\angle AK_{1}K = 180^{\circ} — 45^{\circ} — 45^{\circ} = 90^{\circ} \Rightarrow $$ $$KK_{1} \perp AL,$$ то есть $KK_{1}$ — высота $\triangle AKL$. Аналогично, $\triangle ALL_{1}$: $$\angle KAK_{1} = \angle AKK_{1} = 45^{\circ} \Rightarrow$$ $$LL_{1} \perp AK,$$ то есть $LL_{1}$ — высота $\triangle AKL$.

Таким образом, три высоты $\triangle AKL$ пересекаются в одной точке $Q$, что и означает, что $Q$ — ортоцентр $\triangle AKL$.

$3$. Распишем более подробно как мы получили равенство.

$\triangle ABK:$ $$AB^2 + BK^2 = AK^2 \Rightarrow BK^2 = AK^2 — AB^2$$ $\triangle BMK:$ $$BM^2 = MK^2 — BK^2 \Rightarrow BM^2 = MK^2 — AK^2 + AB^2$$ $$\Rightarrow AB^2 — BM^2 = AK^2 — MK^2$$ $\triangle ALD:$ $$AL^2 = AD^2 + LD^2 \Rightarrow LD^2 = AL^2 — AD^2$$ $\triangle NDL:$ $$ND^2 = NL^2 — LD^2 \Rightarrow ND^2 = NL^2 — AL^2 + AD^2$$ $$\Rightarrow AD^2 — ND^2 = AL^2 — NL^2$$ $$MK^2 + AL^2 = AK^2 + BM^2 — AB^2 + AD^2 — ND^2 + NL^2 = AK^2 + NL^2,$$(так как $AD = AB, ND = BM$).

$4$. Докажем, что точки $M$, $K$, $A$, $L$ и $N$ принадлежат одной окружности.

Так как около любого треугольника можно описать окружность, то точки $K,$ $A$ и $L$ уже принадлежат окружности $\omega_{1}$, описанной около $\triangle AKL$. Покажем, что точки $M$ $L$ также принадлежат этой окружности.

Рассмотрим $\triangle BMK$ и обозначим в нем $\angle BKM = \alpha$, тогда $$\angle BMK = 90^{\circ} -\alpha.$$ $\triangle AMK:$ $$\angle AMK = 180^{\circ} — (90^{\circ} -\alpha) = 90^{\circ} + \alpha$$ $$\angle MAK = 180^{\circ} — (45^{\circ} + 90^{\circ} + \alpha) = 45^{\circ} — \alpha$$ $\triangle ADL:$ $$\angle DAL = 90^{\circ} — (45^{\circ} -\alpha + 45^{\circ}) = \alpha$$ $\triangle NLD:$ $$\angle LND = 45^{\circ} + \alpha$$ $$\angle NLD = 90^{\circ} — (45^{\circ} + \alpha) = 45^{\circ} — \alpha.$$

Из первого пункта следует, что $$\angle NLD = \angle QLK = 45^{\circ} — \alpha,$$$$\angle BKM = \angle QKP = \alpha.$$Значит, $$\angle ALK = 45^{\circ} + 45^{\circ} — \alpha = 90^{\circ} — \alpha,$$$$\angle MKL = 45^{\circ} + 45^{\circ} + \alpha = 90^{\circ} + \alpha.$$Тогда, $$\angle AMK + \angle ALK = 90^{\circ} + \alpha + 90^{\circ} — \alpha = 180^{\circ}$$ $$\angle MKL + \angle MAL = 90^{\circ} + \alpha + 90^{\circ} — \alpha = 180^{\circ}$$

Таким образом, в четырехугольнике $AMKL$ сумма противолежащих углов равна $180^{\circ}$, значит четырехугольник $AMKL$ можно вписать в окружность $\omega_{2}$. Так как, окружность $\omega_{2}$ описана около $AMKL$, тогда она описана около $\triangle AKL$, но так как около треугольника можно описать только одну окружность, то $\omega_{1} = \omega_{2}$ и точки $M$, $K$, $A$, $L$ и $N$ принадлежат одной окружности.

$5$. Докажем, что $AM = AN = KL.$

Из первого пункта: $$BM = ND,$$ а так как $$AB = AD,$$ то $$AM = AN$$Осталось показать, что $$AM = KL.$$Так как $$\angle MKA = \angle KAL = 45^{\circ},$$ то $MK \parallel AL$, тогда, так как $\angle MAL = \angle KLA = 90^{\circ} — \alpha$, $AMKL$ — равнобокая трапеция $\Rightarrow$ $AM = KL$, тогда $$AM = AN = KL.$$