Processing math: 100%

Криволинейные интегралы первого рода и их свойства

Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая Γ уравнением в координатной форме, то есть Γ={x=x(t),y=y(t),z=z(t),αtβ}. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция f(x,y,z). Тогда определенный интеграл вида:
βαf(x(t),y(t),z(t))|r(t)|dt=Γf(x,y,z)ds называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой Γ.

Свойства криволинейных интегралов первого рода

  • Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
    Γf(x,y,z)ds=ni=1Γif(x,y,z)ds
    [spoilergroup]
    Доказательство

    [/spoilergroup]
  • Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
    Γf(x,y,z)ds=Γf(x,y,z)ds
    [spoilergroup]
    Доказательство

    [/spoilergroup]
  • Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
    [spoilergroup]
    Доказательство

    [/spoilergroup]

    Замечание: если для параметризации кривой Γ использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
    Γf(x,y,z)ds=S0f(x(s),y(s),z(s))ds,
    так как |r(s)|=1, 0sS.

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
Γf(x,y,z)ds=S0f(x(s),y(s),z(s))ds.
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
Γf(x,y,z)ds=liml(T)0ni=1f(xi,yi,zi)Δsi,
где xi=x(si), y=y(si), zi=z(si), T — разбиение отрезка [0,S], то есть 0=s0<s1<<sn=S, Δsi=sisi1. Разбиению кривой Γ на дуги Γsi1si, i=¯1,n (рисунок 1) соответствует разбиение T отрезка [0,S] (рисунок 2).

[spoilergroup]

Рисунок 1

[/spoilergroup]

[spoilergroup]

Рисунок 2

[/spoilergroup]

Если рассматривать случай, когда функция f(x,y,z) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл Γf(x,y,z)ds как массу кривой Γ.

[spoilergroup]

Пример

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы первого рода

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных