Определение
Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая Γ уравнением в координатной форме, то есть Γ={x=x(t),y=y(t),z=z(t),α≤t≤β}. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция f(x,y,z). Тогда определенный интеграл вида:
β∫αf(x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt=∫Γf(x,y,z)ds называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой Γ.
Свойства криволинейных интегралов первого рода
- Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
∫Γf(x,y,z)ds=n∑i=1∫Γif(x,y,z)ds
[spoilergroup]
Доказательство
[/spoilergroup] - Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
∫Γf(x,y,z)ds=∫Γ−f(x,y,z)ds
[spoilergroup]
Доказательство
[/spoilergroup] - Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
[spoilergroup]
Доказательство
[/spoilergroup]Замечание: если для параметризации кривой Γ использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
∫Γf(x,y,z)ds=S∫0f(x(s),y(s),z(s))ds,
так как |r′(s)|=1, 0≤s≤S.
Физический смысл криволинейных интегралов первого рода
Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
∫Γf(x,y,z)ds=S∫0f(x(s),y(s),z(s))ds.
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
∫Γf(x,y,z)ds=liml(T)→0n∑i=1f(xi,yi,zi)Δsi,
где xi=x(si), y=y(si), zi=z(si), T — разбиение отрезка [0,S], то есть 0=s0<s1<…<sn=S, Δsi=si—si−1. Разбиению кривой Γ на дуги Γsi−1si, i=¯1,n (рисунок 1) соответствует разбиение T отрезка [0,S] (рисунок 2).
[spoilergroup]
[/spoilergroup]
[spoilergroup]
[/spoilergroup]
Если рассматривать случай, когда функция f(x,y,z) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл ∫Γf(x,y,z)ds— как массу кривой Γ.
[spoilergroup]
[/spoilergroup]
Литература
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., 2001 г. стр. 493-495
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 2, стр. 494-498
- Коляда В.И. и Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, часть 2, стр. 222-226
- Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. — 4-е изд., 2001 г. стр. 321
Тест
Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.
Таблица лучших: Криволинейные интегралы первого рода
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |