Криволинейные интегралы первого рода и их свойства

Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая  \Gamma уравнением в координатной форме, то есть \Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда определенный интеграл вида:
$$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой  \Gamma.

Свойства криволинейных интегралов первого рода

  • Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$
    [spoilergroup]
    Доказательство

    Разобьем кривую  \Gamma на части, то есть \Gamma = (\Gamma_1,...,\Gamma_n), таким образом, что конечная точка кривой  \Gamma_i совпадает с начальной точкой кривой  \Gamma_{i+1}, i = \overline{i,n}. Тогда интеграл \int_{\Gamma}f(x, y, z)ds по свойству аддитивности определенного интеграла, если \Gamma_i = r(t) (\alpha_i \leq t \leq \beta _i), \alpha _1 = \alpha ,  \beta _n = \beta , можно представить следующим образом:
    ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =$
    $=\sum\limits_{i=1}^{n}\overset {\beta_i}{ \underset {\alpha_i}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {\Gamma_i}{ \int }}f(x,y,z)\,ds.$

    [свернуть]

    [/spoilergroup]
  • Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds $$
    [spoilergroup]
    Доказательство

    Пусть точка A — начало кривой \Gamma, точка B — конец кривой \Gamma, а S — ее длина. Пусть точка M = r(s) принадлежит кривой AB, а s — длина дуги \buildrel\,\,\frown\over{AM}. Пусть \delta — длина дуги \buildrel\,\,\frown\over{BM}, тогда \delta = S - s. Представлением кривой BA является функция r = r(S - \delta ), 0\leq \delta \leq S.
    криваяСовершив в интеграле замену s = S - \delta , учитывая, что {\mathrm{d} s} = -{\mathrm{d} \delta }, получаем:
    \( { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds = \)
    \(=-\overset {0}{ \underset {S}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = \)
    \( =\overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{BA}}{ \int }}f(x, y, z)\,d\delta.\)

    [свернуть]

    [/spoilergroup]
  • Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
    [spoilergroup]
    Доказательство

    Перейдем от данного уравнения r = r(t), \alpha \leq t\leq \beta к уравнению \rho = \rho (\tau ), \alpha \leq \tau \leq \beta с помощью представления параметра t через непрерывную строго возрастающею функцию другого параметра, то есть t = t(\tau ). Получим:
    \(\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt =\)
    \(= \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left | \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}(t(\tau)) \right|t'(\tau)\,d\tau =\)
    \(=\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(\xi(\tau), \eta(\tau), \zeta(\tau))\,d\tau\),
    где \(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = |r'(t)|\).

    [свернуть]

    [/spoilergroup]

    Замечание: если для параметризации кривой \Gamma использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds, $$
    так как |r'(s)| = 1, 0\leq s\leq S.

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds. $$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$$
где x_i = x(s_i), y = y(s_i), z_i = z(s_i), T — разбиение отрезка [0, S], то есть 0 = s_0 < s_1 < ... <s_n = S, \Delta s_i = s_i - s_{i-1}. Разбиению кривой \Gamma на дуги \Gamma _{s_{i-1}s_i}, i = \overline{1,n} (рисунок 1) соответствует разбиение T отрезка [0, S] (рисунок 2).

[spoilergroup]

Рисунок 1

кривая2

Разбиение кривой \Gamma на дуги

[свернуть]

[/spoilergroup]

[spoilergroup]

Рисунок 2

кривая3

Разбиение отрезка [0; S] на части

[свернуть]

[/spoilergroup]

Если рассматривать случай, когда функция f(x, y, z) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл \int_{\Gamma }f (x, y, z){\mathrm{d}s} - как массу кривой \Gamma.

[spoilergroup]

Пример

Найти массу m кривой \Gamma, заданной уравнением y = \ln x, где 1\leq x\leq \mathrm{e}, есть ее линейная плотность в каждой точке пропорциональная квадрату абсциссы, то есть \rho (x,y) = kx^2.

Решение

Используя формулу для вычисления массы кривой, получаем:
$$m = { \underset { \Gamma }{ \int } } kx^2\,ds.$$
Для того, чтобы вычислить криволинейный интеграл первого рода воспользуемся равенством:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } }f(x, y(x))\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x, \psi(x))\sqrt{1 +(\psi'(x))^2 }\,dx.$$

Поскольку:
$$\sqrt{1 +(\psi'(x))^2 } = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + x^2}{x},$$
то
$$m = \overset {\mathrm{e}}{ \underset {1}{ \int }}kx^2\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}\,dx = \frac{k}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} \bigg|_1^\mathrm{e} = \left ( \frac{k}{3}(1+\mathrm{e}^2)^{\frac{3}{2}} — 2\sqrt{2} \right ).$$

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы первого рода

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *