Метка: Первая теорема Коши

Ядро Фейера

Зададим непрерывную и $2\pi$-периодическую функцию $f(x)$. Рассмотрим последовательность $S_n(x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$, где $$S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \cdot D_n(t)dt,(1)$$ а $D_n(t)$ — ядро Дирихле: $$D_n(t) = \dfrac{1}{2} + \cos t + \ldots + \cos nt = \dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}.(2)$$ Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$: $$\sigma_n(x) = \dfrac{S_0(x) + \ldots + S_n(x)}{n+1}.(3)$$

Подставляя в данную формулу выражение для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле, получаем, что $$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1} dt.$$ Обозначим $$F_n(t) = \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1},(4)$$ тогда $$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt.(5)$$

Функцию $F_n(t)$ назовём ядром Фейера. Приведём следующие свойства ядра Фейера:

1. $F_n(t)$ — четная, $2\pi$-периодическая и непрерывная функция;
2. $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$;
3. $F_n(t) \ge 0$;
4. $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$ при любом $\delta \in (0, \pi)$.

Доказательство

Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (4) и соответствующих свойств ядер Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (4) для ядра Фейера выражение (2) для ядер Дирихле, получаем $$(n + 1) \cdot F_n(t) = D_0(t) + \ldots + D_n(t) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\sin(k + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} =$$ $$=\dfrac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \sin(k + \frac{1}{2})x = \dfrac{1 — \cos(n + 1)x}{4\sin^2 \frac{x}{2}} \ge 0. (6)$$

Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что $\sup \limits_{x \in [\delta, \pi]} F_n(x) \le \dfrac{2}{4\cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}} \cdot \dfrac{1}{n + 1} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, $0 < \delta < \pi$.

Теорема (Фейера).

Последовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$-периодической непрерывной функции $f(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$.

Доказательство.

Докажем равномерную непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$.


Спойлер
По теореме Кантора функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $[-2\pi, 2\pi]$. Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых $x, t \in [-2\pi, 2\pi]$ таких, что $\left| x — t \right| < \delta$, выполнено неравенство $\left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$.
Пусть $\xi$ и $\eta$ – произвольные числа такие, что $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$. Тогда для любого $\xi \in \mathbb{R}$ надётся целое число $k$ такое, что $\xi — 2k\pi = x \in [-\pi, \pi]$. Так как по условию $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$, то $t = \eta — 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$, и поэтому $\left| f(\xi) — f(\eta) \right| = \left| f(\xi — 2k \pi) — f(\eta — 2k \pi) \right| = \left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$, что доказывает равномерную непрерывность функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$.
[свернуть]

Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, оценим разность $\sigma(x) — f(x)$. Получаем, что $\sigma(x) — f(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi (f(x + t) — f(x)) F_n(t)dt$, $$\left| \sigma(x) — f(x) \right| \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt. (7)$$

Зафиксируем $\varepsilon > 0$. Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ и найдём $\delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) — f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$.

Разобьём отрезок интегрирования $[-\pi, \pi]$ в формуле (7) на три отрезка: $[-\pi, -\delta], [-\delta, \delta]$ и $[\delta, \pi]$.

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t) dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \dfrac{\varepsilon}{2} F_n(t) dt \le$$ $$\le \dfrac{\varepsilon}{2\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} F_n(t)dt = \dfrac{\varepsilon}{2}. (8)$$

Из непрерывности на $\mathbb{R}$ $2\pi$-периодичной функции $f(x)$ следует её ограниченность на $\mathbb{R}$. Пусть $\left| f(x) \right| < M$. Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдём такое $N$, что $\forall n > N$ выполнено неравенство $$\max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.$$

Тогда $\forall n > N$ справедливо неравенство $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} (\left| f(x + t) \right| + \left| f(x) \right|) F_n(t)dt \le$$ $$\le \dfrac{2M}{\pi} (\pi — \delta) \max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < 2M \dfrac{\varepsilon}{8M} = \dfrac{\varepsilon}{4}. (9)$$

Аналогично для всех $n > N$: $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{-\delta}_{-\pi} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt < \dfrac{\varepsilon}{4}. (10)$$

Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ и для всех $n > N$ выполнено неравенство $\left| \sigma_n(x) — f(x) \right| < \varepsilon$ (из неравенств (7) — (10)), которое означает, что последовательность сумм Фейера $\sigma_n(x)$ равномерно сходится на $\mathbb{R}$ к функции $f(x)$.

Спойлер
Задан ряд $1 — 1 + 1 — 1 + \ldots$. Данный ряд расходится, но суммируется в смысле Фейера. Найдём его частичные суммы $S_{2n} = 0$, $S_{2n-1} = 1$ и средние суммы Фейера $\sigma_{2n} = \dfrac{1}{2}$, $\sigma_{2n-1} = \dfrac{n}{2n-1}$, $n = 1, 2, \ldots$. Следовательно, $\sigma_n \to \dfrac{1}{2}$.
[свернуть]

Литература

• Тер – Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 596-598
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 147-151

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Суммируемость рядов Фурье методом Фейера».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Соотнесите выражения.

   Элементы сортировки

   • $\dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}$
   • $\dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1}$
   • $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt$

   • $D_n(t) =$

   • $F_n(t) =$

   • $\sigma_n(x) =$
2. Задание 2 из 5

   2.

   Свойством ядра Фейера не является следующее выражение:

   • $F_n(t)$ - четная, $2\pi$-периодическая и непрерывная функция
   • $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$
   • $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$
   • $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi} F_n(t)dt = \pi$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Расположите формулы так, чтобы каждая следующая являлась следствием из предыдущей в доказательстве теоремы Фейера.

   • равномерная непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
   • $\exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) - f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
   • ограниченность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
4. Задание 4 из 5

   4.

   Что такое суммы Фейера?

   • средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$
   • среднее арифметическое сумм $D_0(t), \ldots, D_n(t)$
5. Задание 5 из 5

   5.

   К чему равномерно сходится следовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$-периодической непрерывной функции $f(x)$?