Processing math: 100%

Метка: пирамида

M1568. Сечение пирамиды

Задача из журнала «Квант» (1996, №5, M1568)

Условие

Докажите что при n≥5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Решение

Пусть правильный (n+1) –угольник B1…Bn является сечением пирамиды SA1…An где A1…An – правильный n-угольник. Мы рассмотрим три случая: n=5,n=2k−1(k>3)  и n=2k(k>2)
Так как n-угольная пирамида имеет (n+1) грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что точки B1…Bn+1 расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках 1 и 2 ( в соответствии с указанными случаями).

  1. n=5. Так как в правильном шестиугольнике B1…B6 прямые B2B3,B5B6 и B1B4 параллельны, а плоскости  A2SA3 и ASA проходят через B2B3 и B5B6  то их линия пересечения ST(T=A1A5⋂A2A3) параллельна этим прямым т.е. ST∥B1B4 Проведем через прямые ST  и B1B4 плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой B1A4 которая должна проходить через точку пересечения прямой ST с плоскостью основания т.е. через точку T. Итак, прямые A1A5,A4B1 и A2A3 пересекаются в одной точке.Аналогично доказывается, что прямые A1A2,A3B6 и A4A5  и пересекаются в одной точке. Из этого следует что A4B1 и A3B6  – оси симметрии правильного пятиугольника A1…A5 , значит. Точка O их пересечения – центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если Q – центр правильного шестиугольника B1…B6 , то плоскости SA3B6,SA4B1 и SB2B5 пересекаются по прямой SQ. Следовательно прямые  A3B6,A4B1 и A2A5  должны пересекаться в одной точке – точке пересечения прямой SQ с плоскостью основания пирамиды.Значит диагональ правильного пятиугольника A1…A5 должна проходить через его центр O, что невозможно.

    2. 4

  2.  n=2k−1(k>3) Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном 2k-угольнике B1…B2k прямые  B1B2,Bk+1Bk+2 и BkBk+3параллельны, то  прямые  A1A2,Ak+1Ak+2 и AkAk+3 должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как в правильном (2k−1)-угольнике A1…A2k−1 имеем Ak+1Ak+2∥AkAk+3, а прямые A1A2,Ak+1Ak+2 не параллельны.
  3.  n=2k(k>2) Аналогично предыдущему случаю прямые A1A2,Ak+1Ak+2 и AkAk+3  параллельны, следовательно, прямые B1B2,Bk+1Bk+2 и BkBk+3 должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как Bk+1Bk+2∥BkBk+3, а прямые A1A2,Ak+1Ak+2  не параллельны.

Замечания

  1.  При n=3,4 утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр имеющий сечением квадрат и правильная четырехугольная  пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, которая имеет сечением правильный пятиугольник
  2. Приведенное решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться центральным проектированием и его свойством утверждающим, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку, являются прямые, проходящие через одну точку ( или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость из вершины пирамиды.

Д. Терешин.