Задача из журнала «Квант» (1981 год, 9 выпуск)
Условие
Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат (рис.1).
Решение
Пусть вокруг черного квадрата (см.рис.1) описан голубой параллелограмм ABCD и через все его вершины проведены красные прямые, перепендикулярные сторонам квадрата. Достаточно доказать, что при повороте на 90∘ вокруг центра O черного квадрата красные прямые переходят друг в друга.
Пусть H=R90∘0(A). Поскольку стороны повернутого параллелограмма перпендикулярны сторонам исходного, (HE)⊥(AB) и (HF)⊥(BC). Поэтому H — точка пересечения высот треугольника EBF и, следовательно, H лежит на красной прямой, проведенной через вершину B. Таким образом, красная прямая, проведенная через точку A, переходит при повороте R90∘0 в красную прямую, проведенную через точку B. Отсюда немедленно следует утверждение задачи.
Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке (мы надеемся, известная нашим читателям), не доказывается в школьном учебнике. Поэтому мы приведем еще одно решение задачи M704, хотя и не столь изящное, но тоже простое.
Это решение годится и для более общего случая, когда роль квадрата играет черный параллелограмм (рис.2): мы докажем, что красные прямые (соответственно параллельные сторонам черного параллелограмма) образуют параллелограмм, гомотетичный черному параллелограмму.
Рис.2.
Для доказательства достаточно проверить, что красная точка K (см. рисунок 3 — фрагмент рисунка 2) лежит на диагонали параллелограмма EG. Из подобия заштрихованных треугольников следует, что xa=bv и ay=ub (обозначения см. на рисунке 3). Перемножив эти равенства, получим xy=uv, а это и значит, что точка K лежит на EG.
Полученный результат напоминает теорему Паппа, которую Д. Гильберт и С. Кон−Фоссен в своей замечательной (переизданной недавно по-русски) книге «Наглядная геометрия» формулируют так (с.126—127): если вершины замкнутой шестизвенной ломаной лежат попеременно на двух прямых и две пары ее противоположных звеньев параллельны, то и третья пара звеньев параллельна (на рисунке 3 — как раз такая ломаная AKBEFGA).
На этом возможности обобщений не исчерпаны. Если «сфотографировать» конфигурацию рисунка 3 (то есть спроектировать ее из некоторой точки S, не лежащей в плоскости рисунка, на непараллельную плоскость), мы получим конфигурацию Паскаля: три пары параллельных на рисунке 3 прямых будут пересекаться на «фотографии» в трех точках одной прямой — нам удобно обозначить их A1, F1, B1 (рис.4) — и наша теорема о точках E, K, G превратиться в такую теорему: если каждая тройка точек A, B, F и A1, B1, F1 лежит на прямой, то точки (AB1)∩(A1B), (BF1)∩(B1F) и (AF1)∩(A1F) также лежат на прямой. Рис.4.
Н.Васильев