подмножества

Подмножества. Отношение включения.
Множество

$X$ называется подмножеством множества

$Y$ , если любой элемент множества

$X\in\ Y$ . Принято обозначать это следующим образом:

$X\subseteq\ Y$ .

Если необходимо указать, что

$Y$ содержит и другие элементы, а не только элементы множества

$X$ , то принято использовать символ строгого включения

$\subset\ : X\subset\ Y$ .
Связь между символами строгого и не строгого включения (

$\subset$ и

$\subseteq$ ) показана выражением:

$X\subset\ Y\Leftrightarrow\ X\subseteq\ Y \ и \ X\ne\ Y$

Выделим некоторые свойства, которые вытекают из определения:

$X\subseteq\ X$ (рефлексивность);
$\left[X\subseteq\ Y \ и \ Y\subseteq\ Z\right] \Rightarrow\ X\subseteq\ Z$ (транзитивность);
$\varnothing\ \subseteq\ M$ . Отметим, что пустое множество является подмножеством любого подмножества.

Начальное множество $A$ по отношению к его подмножествам является полным множеством и его принято обозначать $I$ .

Собственное множество множества $A$ — это любое подмножество $A_i$ множества $A$ .

Булеаном множества $X$ — называется множество, состоящее из всех подмножеств данного множества $X$ и пустого множества $\varnothing$ . Принято обозначать как $\beta(X)$ . Множество булеана $\left|\beta(X)\right|=2^n$ .

Счетное множество — это множество $A$ , которое совпадает по мощности с множеством натуральных чисел $N$ . Другими словами — если множество, эквивалентно множеству натуральных чисел, то оно называется счетным множеством.
Множество $A$ называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным.

Существует 2 основных способа задания множеств.

Перечислением $(X=\left\{a,b\right\}, Y=\left\{1\right\}, Z=\left\{1,2,…,8\right\}, M=\left\{m_{1},m_{2},m_{3},..,m_{n}\right\})$ ;
Описанием — указываются характерные свойства , которыми обладают все элементы множества.

Множество полностью определено своими элементами.

Конечные множества можно задать только перечислением их элементов (например, множество дней в месяце).
Для задания бесконечных множеств нужно описать свойства их элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием $Q=\left\{n/m, \ m, \ n\in\ z, \ m\ne\ 0\right\}$ .

Подмножеством множества $A$ можно рассматривать само множество $A$ и пустое множество $\varnothing$ . Эти два подмножества называются несобственными. Остальные подмножества множества $A$ будут называться собственными.

Литература:

Конспект лекций Г.С. Белозерова
Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17