Равенство множеств


Равенство множеств

Множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Если $A$ есть множество $\left\{2,4,6\right\}$, а $B$ есть множество $\left\{x: x\ есть\ четное\ положительное\ целое\ число,\ которое\ меньше\ 7\right\},$ тогда $A$ и $B$ — равные множества. Таким образом мы приходим к следующему определению.

Пусть $A$ и $B$ — некоторые множества. Говорят, что $A$ равно $B$, и пишут $A=B$, если $\forall\ x : x\in\ A\Leftrightarrow\ x\in\ B$. Иначе говоря, $A=B\Leftrightarrow\ A\subseteq\ B \ и \ B\subseteq\ A$.

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

В заданиях необходимо определить отношения включения множеств

Подмножества. Отношение включения



Подмножества. Отношение включения.

Множество $X$ называется подмножеством множества $Y$, если любой элемент множества $X\in\ Y$. Принято обозначать это следующим образом: $X\subseteq\ Y$.
svg_podmnojestvo
Если необходимо указать, что $Y$ содержит и другие элементы, а не только элементы множества $X$, то принято использовать символ строгого включения $\subset\ : X\subset\ Y$.
Связь между символами строгого и не строгого включения ($\subset$ и $\subseteq$) показана выражением:

$$X\subset\ Y\Leftrightarrow\ X\subseteq\ Y \ и \ X\ne\ Y$$

Выделим некоторые свойства, которые вытекают из определения:

  • $X\subseteq\ X$ (рефлексивность);
  • $\left[X\subseteq\ Y \ и \ Y\subseteq\ Z\right] \Rightarrow\ X\subseteq\ Z$ (транзитивность);
  • $\varnothing\ \subseteq\ M$. Отметим, что пустое множество является подмножеством любого подмножества.

Начальное множество $A$ по отношению к его подмножествам является полным множеством и его принято обозначать $I$.

Собственное множество множества $A$ — это любое подмножество $A_i$ множества $A$.

Булеаном множества $X$ — называется множество, состоящее из всех подмножеств данного множества $X$ и пустого множества $\varnothing$. Принято обозначать как $\beta(X)$. Множество булеана $\left|\beta(X)\right|=2^n$.

Счетное множество — это множество $A$, которое совпадает по мощности с множеством натуральных чисел $N$. Другими словами — если множество, эквивалентно множеству натуральных чисел, то оно называется счетным множеством.
Множество $A$ называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным.

Существует 2 основных способа задания множеств.

  • Перечислением$(X=\left\{a,b\right\}, Y=\left\{1\right\}, Z=\left\{1,2,…,8\right\}, M=\left\{m_{1},m_{2},m_{3},..,m_{n}\right\})$;
  • Описанием — указываются характерные свойства , которыми обладают все элементы множества.

Множество полностью определено своими элементами.

Конечные множества можно задать только перечислением их элементов (например, множество дней в месяце).
Для задания бесконечных множеств нужно описать свойства их элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием $Q=\left\{n/m, \ m, \ n\in\ z, \ m\ne\ 0\right\}$.

Подмножеством множества $A$ можно рассматривать само множество $A$ и пустое множество $\varnothing$. Эти два подмножества называются несобственными. Остальные подмножества множества $A$ будут называться собственными.

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса



Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных, он состоит в приведении данной системы, применяя элементарные преобразования, к ступенчатому виду.

Удобнее всего это делать путем приведения (с помощью элементарных преобразований строк) расширенной матрицы $B$ данной системы к ступенчатой
матрице $B_1$.

Конечная система будет равносильна исходной, так как между элементарными преобразованиями системы и элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы имеет место быть взаимно однозначное соответствие, а при элементарных преобразованиях системы она переходит в равносильную.

Пример:

Пусть дана система уравнений

$\begin{equation*}
\begin{cases}
2x_1 + x_2 + x_3 = 2\\
x_1 — x_2 = -2\\
3x_1 — x_2 + 2x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к ступенчатому виду, а затем далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Первым делом поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся $1$ (это делается для упрощения вычислений):

$A = \left(\begin{matrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
2 \\ -2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
\sim~\
\left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
$

Затем получаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:
$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 8
\end{matrix}\right)\right.\ $

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $1/2$):

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 4
\end{matrix}\right)\right.\ $

Затем получаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений меняем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся $1$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 6
\end{matrix}\right)\right.\ $

От третьей строки отнимем вторую, умноженную на $3$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ -6
\end{matrix}\right)\right.\ $

После умножения третей строки на $(-1/2)$ , получаем:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Выполним теперь обратный ход метода Гаусса, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Обнуляем элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Следующим действием обнулим недиагональные элементы второго столбца, прибавив к первой строке вторую:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Полученной матрице соответствует система

$\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1 = -1\\
x_2 = 1\\
x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

Решите систему уравнений методом Гаусса

Понятие о множествах


Понятие множества

Множество — это совокупность определенных объектов, которые могут иметь конкретные свойства.
Георг Кантор, который создал данную теорию давал следующее определение — «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества $M$).».

Множество состоит из отдельных объектов — элементов множества.

Множество обозначается большими буквами латинского алфавита, а его элементы — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках $(X=\left\{a,b\right\})$.

Принято использовать следующие обозначения:

  • $a\in\ X$ — символ принадлежности, читается как «элемент $a$ принадлежит множеству $X$»;
  • $a\notin\ X$ — символ отрицания принадлежности, читается как«элемент $a$ не принадлежит множеству $X$»;
  • $\forall$ — квантор произвольности, общности, читается как «любой» или «какой бы не был», или «для всех»;
  • $\exists$ — квантор существования, например, $\exists\ y\in\ B$ — «существует (найдется) элемент $y$ из множества $B$»;
  • $\exists!$ — квантор существования и единственности, например, $\exists!\ b\in\ C$ — «существует единственный элемент $b$ из множества $C$»;
  • $:$ — символ пояснения, читается как «такой, что« или «обладающий свойством»;
  • $\Rightarrow$ — символ следствия, читается как «отсюда следует« или «отсюда вытекает«;
  • $\Leftrightarrow$ — квантор эквивалентности, равносильности, читается как «тогда и только тогда».

Существует два типа множеств — конечные и бесконечные.
Конечное множество — это множество, которое состоит из конечного числа элементов. Например, множество букв английского алфавита — представляет собой конечное множество.
Бесконечное множество — множество, которое состоит из бесконечного числа элементов. Например, множество рациональных чисел — представляет собой бесконечное множество.

Мощность множества — это число элементов, которое содержится в конечном множества $A$. Мощность обозначается как $\left|A\right|$.
Пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента — $\varnothing$.
Равные множества — это множества, которые включают в себя одни и те же элементы, то есть являются эквивалентными по отношению друг к другу.
Множества $X$ и $Y$ называются не равными ($X\ne\ Y$), если множество $X$ содержит в себе элементы, которые не содержит в себе множество $Y$. Другими словами — множество $X$ имеет элементы, которые не принадлежат множеству $Y$.

Символ равенства множеств имеет следующие свойства:

  • $X=X$; — рефлексивность;
  • если $X=Y$, $Y=X$ — симметричность;
  • если $X=Y$, $Y=Z$, то $X=Z$ — транзитивность.

Согласно такому определению равенства множеств следует, что все пустые множества равны между собой или что существует только одно пустое множество.

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17