В полярных координатах положение точки на плоскости характеризуется полярным радиусом r – расстоянием от точки до начала координат и углом φ, образованным радиус-вектором точки и положительным направлением оси Ox. Будем считать, что −π<φ⩽π. Рассмотрим на плоскости множество, ограниченное кривой, заданной уравнением r=r(φ) (α⩽φ⩽β), и отрезками лучей φ=α
и φ=β. Предположим, что функция r(φ) непрерывна и положительна на [α,β]. Можно показать, что это множество квадрируемо. Разобьем отрезок [α,β] на части точками α=φ0<φ1<⋯<φn=β. Тогда рассматриваемое множество разобьется на криволинейные секторы. Если исходное разбиение отрезка [α,β] достаточно мелкое, то, в силу непрерывности функции r(φ),i-й сектор можно приближенно считать сектором круга. Точнее, если обозначим μi=infφi⩽φi⩽φi+1r(φ)иMi=supφi⩽φ≤φi+1r(φ), то рассматриваемый криволинейный сектор содержит в себе круговой сектор радиуса μi и содержится в круговом секторе радиуса Mi. Площадь внутреннего сектора радиуса μi равна 12μ2iΔφi, а площадь внешнего – 12M2iΔφi, где Δφi – угол при вершине. Складывая эти площади, получим 12n−1∑i=0μ2iΔφi≡S_, 12n−1∑i=0Mi2Δφi≡¯S.
Как мы уже отметили, рассматриваемое множество квадрируемо, так что его площадь S удовлетворяет неравенству S_⩽S⩽¯S. Но S_ и ¯S представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для функции 12r2(φ), соответствующие данному разбиению отрезка [α,β]. Поэтому, учитывая, что функция 12r2(φ) интегрируема по Риману на отрезке [α;β], получаем, что при стремлении к нулю диаметра разбиения верхняя и нижняя суммы Дарбу обе стремятся к 12β∫αr2(φ)dφ. Таким образом, мы доказали равенство
S=12β∫αr2(φ)dφ.
Примеры решения задач
Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.
- Спираль Архимеда задается уравнением r=aφ (0⩽φ⩽2π), где параметр a>0. Найдите площадь множества точек плоскости, ограниченной спиралью Архимеда.
Решение
Площадь множества точек плоскости, ограниченной спиралью Архимеда равна S=122π∫0r2(φ)dφ=12a22π∫0φ2dφ=4π3a23
Ответ: S=4π3a23.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=1+cosφ (0⩽φ⩽2π)
Решение
S=122π∫0(1+cosφ)2dφ=
=122π∫0(1+2cosφ+cos2φ)dφ=
=122π∫0(1+2cosφ+1+cos2φ2)dφ=
=122π∫0(32+2cosφ+cos2φ2)dφ=
=12(32φ+2sinφ+sin2φ4)|2π0=3π2Ответ: S=3π2.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r(φ)=2cos2φ
Решение
Так как, r(φ)=2cos2φ≥0 ∀φ, значит угол принимает все значения от α=0 до β=2π. По рабочей формуле:
S=12β∫αr2(φ)dφ=122π∫0(2cos2φ)2dφ=
=12⋅42π∫0(cos2φ)2dφ=22π∫0(1+cos2φ2)2dφ=
=2⋅142π∫0(1+cos2φ)2dφ=122π∫0(1+2cos2φ+cos22φ)dφ=
=122π∫0(1+2cos2φ+1+cos4φ2)dφ=
=122π∫0(32+2cos2φ+cos4φ2)dφ=
=12(32φ+sin2φ+sin4φ8)|2π0=
=12(32⋅2π+sin4π+sin8π8−(32⋅0+sin0+sin08))=
=3π2Ответ: S=3π2.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах r=√3cosφ, r=sinφ (0⩽φ⩽π2).
Решение
Фигура, ограниченная окружностями r=√3cosφ, r=sinφ, не определена однозначно и поэтому в условии наложено дополнительное ограничение на угол (0⩽φ⩽π2), из которого следует, что необходимо вычислить заштрихованную площадь:
Сначала найдем луч φ=π3, по которому пересекаются окружности. Приравниваем функции и решаем уравнение:
sinφ=√3cosφ
sinφcosφ=√3
tgφ=√3Таким образом: φ=arctg√3=π3
Из чертежа следует, что площадь фигуры нужно искать как сумму площадей:
- На промежутке [0;π3] фигура ограничена отрезком луча φ=π3 и дугой окружности r=sinφ.
S1=12π3∫0(sinφ)2dφ=12π3∫0sin2φdφ=
=12⋅12π3∫0(1−cos2φ)dφ=14(φ−12sin2φ)|π30=
=14(π3−12sin2π3)=14(π3−12⋅√32)=π12−√316 - На промежутке [−π3;π3] фигура ограничена тем же отрезком луча φ=π3 и дугой окружности r=√3cosφ.
S2=12π2∫π3(√3cosφ)2dφ=32π2∫π3cos2φdφ=
=32⋅12π2∫π3(1+cos2φ)dφ=34(φ+12sin2φ)|π2π3=
=34(π2+12sinπ−(π3+12sin2π3))=
=34(π2+0−π3−12⋅√32)=34(π6−√34)=3π24−3√316 - Пользуемся аддитивностью площади:
S=S1+S2=π12−√316+3π24−3√316=
=5π24−√34=5π−6√324
Ответ: S=5π−6√324.
- На промежутке [0;π3] фигура ограничена отрезком луча φ=π3 и дугой окружности r=sinφ.
Площадь в полярных координатах
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Площадь в полярных координатах».
