Processing math: 100%

Метка: предел на бесконечности

Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки a называется:

˙Uδ(a)=(a−δ;a)∪(a;a+δ).

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки a. Говорят, что f(x) имеет бесконечный предел в этой точке (limx→af(x)=∞), если:

∀ε>0∃δ>0:∀x∈˙Uδ(a):|f(x)|>ε.

В этом случае функцию называют бесконечно большой при x→a. Данный общий случай можно разделить на два частных:

limx→af(x)=+∞⇔∀ε>0∃δ>0:∀x∈˙Uδ(a):f(x)>ε

и, соответственно

limx→af(x)=−∞⇔∀ε>0∃δ>0:∀x∈˙Uδ(a):f(x)<−ε.

Пример 1

Дана функция f(x)=1x:
frac1x
Найти предел при x→0.

Спойлер

Пределы на бесконечности

Число A называют пределом функции f(x) на бесконечности (limx→∞f(x)=A), если

∀ε>0∃δε>0:∀|x|>δε:|f(x)−A|<ε.

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на +∞:

limx→+∞f(x)=A⇔∀ε>0∃δε>0:∀x>δε:|f(x)−A|<ε

и на −∞:

limx→−∞f(x)=A⇔∀ε>0∃δε>0:∀x<−δε:|f(x)−A|<ε.

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

limx→∞f(x)=∞⇔∀ε>0∃δε>0:∀|x|>δε:|f(x)|>ε
limx→∞f(x)=+∞⇔∀ε>0∃δε>0:∀|x|>δε:f(x)>ε
limx→∞f(x)=−∞⇔∀ε>0∃δε>0:∀|x|>δε:f(x)<−ε
limx→−∞f(x)=∞⇔∀ε>0∃δε>0:∀x<−δε:|f(x)|>ε
limx→+∞f(x)=∞⇔∀ε>0∃δε>0:∀x>δε:|f(x)|>ε

Пример 2

Рассмотрим функцию f(x)=lnx2:
lnxpow2

Спойлер

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
  2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Тест


Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных