Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки a называется:

\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки a. Говорят, что f(x) имеет бесконечный предел в этой точке (\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty), если:

\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.

В этом случае функцию называют бесконечно большой при x\rightarrow a. Данный общий случай можно разделить на два частных:

\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon

и, соответственно

\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.

Пример 1

Дана функция f(x)=\frac{1}{x}:
frac1x
Найти предел при x\rightarrow 0.

Спойлер

Функция определена на всей вещественной оси кроме т. 0. Рассмотрим некоторую проколотую окрестность \dot{U}_{\delta }(0). Как видно, для \forall \varepsilon \: \exists\, \delta =\frac{1}{\varepsilon } такое, что \forall x\in (0;|\delta |)\: |f(x)|>\varepsilon . Отсюда, по определению следует, что эта функция бесконечно большая при x\rightarrow 0. При этом на (-\infty;0 )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=-\infty , а на (0;+\infty )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=+\infty .

[свернуть]

Пределы на бесконечности

Число A называют пределом функции f(x) на бесконечности (\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A), если

\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на +\infty:

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon

и на -\infty:

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon

Пример 2

Рассмотрим функцию f(x)=\ln x^{2}:
lnxpow2

Спойлер

При x\rightarrow \infty значение функции монотонно растет. Для любого \varepsilon и соответствующего ему \delta _{\varepsilon } найдется такой x, например, x=\delta _{\varepsilon }+1, что f(x)> f(\delta _{\varepsilon }). Иначе говоря, \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }=\varepsilon:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon. Это значит, что \lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+\infty .

[свернуть]

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
  2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Тест


Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности: 2 комментария

  1. Спасибо, всё понятно. Только в тесте ошибка во втором вопросе: нет корректного определения проколотой окрестности — вместно интервалов даны точки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *