Метка: предел.

Определение производной

Определение:

Пусть функция $latex f$ определена в некоторой окрестности точки $latex x_0$ и пусть существует конечный предел отношения
$latex \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}<\infty$
Тогда этот предел называют производной функции $latex f$ в точке $latex x_0$ и обозначают:
$latex f'(x_0)$ или $latex y'(x_0)$ или $latex \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$ или $latex \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$.
$latex f'(x_0)= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ называется приращением функции в точке $latex x_0$
$latex \Delta x=x-x_0$ называется приращением аргумента в точке $latex x_0$.

Примеры:

  1. $latex y=C => \Delta y=C-C=0 => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0 => C’=0;$
  2. $latex y=\sin x => \Delta y= \sin (x+\Delta x)-\sin x=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}$$latex =>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=1; \sin x \sim x, x \to 0]=\cos\underset{\Delta x \to 0}{(x+\frac{\Delta x}{2})}=\cos x => (\sin x)’=\cos x;$
  3. $latex y=\cos x => \Delta y =\cos (x+ \Delta x)-\cos x= -2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})$ $latex => \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=-\sin x => (\cos x)’ = -\sin x;$
  4. $latex y=a^x => \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x =>$$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=[a^x-1\sim x, x\to 0]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(\Delta x\mathrm{ln}a)}{\Delta x}=a^x\mathrm{ln}a => (a^x)’=a^x\mathrm{ln}a;
    (e^x)’=e^x;$
  5. $latex y=\log_a x=> \Delta y=\log_a (x+\Delta x) — \log_a x => $$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (\frac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=[\log_a x \sim \frac{x}{\ln a}, x \to 0]=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln a}}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a} => (\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a};
    (\ln x)’=\frac{1}{x};$
  6. $latex y=x^\alpha => \Delta y = (x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$ = $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^\alpha(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$=$latex x^\alpha \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}$=$latex [(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x, x\to 0; (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1\sim\alpha\frac{\Delta x}{x}]$=$latex x^\alpha\cdot\alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} => (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha -1}$

Практические примеры:

$latex (5)’=0;$
$latex (2^x)’=2^x\ln 2;$
$latex (\log_3 x)’=\frac{1}{x \ln 3};$
$latex (x^5)’=5x^4;$

Определение производной

Тест по теме «Определение производной» и на понимание примеров к ней.

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература:

Предел монотонной последовательности. Пример

Определение:
Последовательность $latex \left\{x_n\right\}$ называется монотонно возрастающей, если $latex \forall n\in\mathbb N:$ $latex x_n \leq x_{n+1}$.

Определение:
Последовательность $latex \left\{x_n\right\}$ называется монотонно убывающей, если [latex]\forall n\in\mathbb N:[/latex] $latex x_n \geq x_{n+1}$

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)

Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то: $latex \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \sup {x_n}$.

Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности: $latex \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \inf {x_n}$.

Доказательство:  
Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности $latex \left\{x_n\right\}$. Докажем, что точная верхняя граница $latex a = \sup{x_n}$ для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы: $latex \forall n$ $latex x_n \leq a$.
Кроме того, какое бы ни взять число $latex \varepsilon > 0$, найдется такой номер $latex N$, что $latex x_n > a — \varepsilon$.
Так как последовательность монотонна, то при $latex n > N$: $latex x_n \geq x_n$, а значит, и $latex x_n > a — \varepsilon$ и выполняются неравенства: $latex 0\leq a — x_n < \varepsilon \vee \left | x_n — a \right | <\varepsilon$ откуда и следует, что $latex \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$. $latex \blacksquare$

Пример. Доказать, что последовательность $latex x_n = \frac{1}{n}$ сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального $latex n$: $latex x_n = \frac{1}{n} > 0$.

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

$latex x_n — x_{n-1} =$ $latex \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} =$ $latex \frac{n+1-n}{n(n+1)} =$ $latex \frac{1}{n(n+1)} > 0 \Rightarrow x_n > x_{n-1}$

а, значит, последовательность {$latex x_n$} монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится. $latex \blacksquare$
Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  • webmath.ru

Предел монотонной последовательности

Тест