Представление функции

Интеграл Фурье как разложение в сумму гармоник

Интегральную формулу Фурье можно переписать следующим образом:

$f\left(x\right)=\intop _{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ a\left(\lambda \right)\cos { \lambda x } +b\left(\lambda \right)\sin { \lambda x } \right] d\lambda },\quad\left(\ast\right)$ где

$a\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$

$b\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$
Равенство

$\left( \ast \right)$ аналогично разложению функции в тригонометрический ряд Фурье, а выражения

$a\left(\lambda \right), b\left(\lambda \right)$ аналогичны формулам для коэффициентов Фурье.

Замечание. Для удобства дальнейших вычислений формула $\left(\ast\right)$ может быть упрощена, а именно:

Если $f\left(x\right)$ — чётная функция, то
$a\left(\lambda \right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$ а $b\left(\lambda \right)$ принимает значение $0.$ Тогда формулу $\left(\ast\right)$ можно записать в виде
$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \cos { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi }.$ Это выражение называется косинус-формулой Фурье.
Для нечётной $f\left(x\right)$ получаем соответственно, что $a\left(\lambda\right)$ обращается в нуль, а
$b\left(\lambda\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi },$ поэтому исходная формула приобретает вид
$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \sin { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$ Таким образом, мы получили синус-формулу Фурье.

Замечание. Интегральная формула Фурье имеет эквивалентную ей комплексную формулу интеграла Фурье

$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits _{ -\infty }^{ +\infty }{ d\lambda } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left( \xi \right) { e }^{ i\lambda \left( x-\xi \right) }d\xi } .$

Пример

Представить следующую функцию интегралом Фурье:

$f\left(x\right)=\begin{cases} 1,\quad если \quad \left| x \right| < 1; \\ 0,\quad если \quad \left| x \right| > 1. \end{cases}$

Решение

Данная функция удовлетворяет достаточным условиям, а потому её можно представить в виде интеграла Фурье. Построим график данной функции. Он симметричен относительно оси ординат, следовательно, исходная функция — чётная. Опираясь на замечание для первого случая, имеем: $b\left(\lambda\right)=0,$ $a\left(\lambda \right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(t\right)\cos { \lambda t } dt }=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ 1 }{ f\left(t\right)\cos { \lambda t } dt }=\frac { 2\sin { \lambda } }{ \pi \lambda }.$ Подставив результат вычислений $a\left(\lambda \right)$ в формулу интеграла Фурье получаем ответ: $f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { \lambda } }{ \lambda } } \cos { \lambda x } d\lambda, \quad \left| x \right|\neq 1.$

[свернуть]

Литература

Будак Б. М., Фомин С. В. Курс высшей математики и математической физики — Кратные интегралы и ряды, М., «Наука», 1965, стр 516-517
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу — 13-е издание, исправленное, — М.: Издательство Московского университета, 1997, стр 404-405
Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)

Тестирование. Представление функции интегралом Фурье

Тесты помогут понять насколько хорошо был усвоен материал.

Задание 1 из 2

1.

Пусть функция $f(x)$ представима интегралом Фурье: $f(x)=\intop _{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ a(\lambda )\cos { \lambda x } +b(\lambda )\sin { \lambda x } \right] d\lambda },$ где $a(\lambda )=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi )\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$ $b(\lambda )=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$ Необходимо сопоставить информацию о функции с соответствующей формулой.

Элементы сортировки

$a(\lambda )=\frac { 2 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ f(\xi)\cos { \lambda \xi } d\xi }$
$f(x)=\frac { 2 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ \cos { \lambda x } d\lambda } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ f(\xi)\cos { \lambda \xi } d\xi }$
$f(x)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi )\cos { { \lambda } } (\xi -x)d\xi }$
$a(\lambda)=0$
$f(x)=\frac { 2 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ \sin { \lambda x } d\lambda } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ f(\xi)\sin { \lambda \xi } d\xi }$

$f(x)$ – чётная функция.

$b(\lambda)=0$

Двойной интеграл Фурье функции

$f(x)$ .

$f(x)$ – нечётная функция.

$a(\lambda)=0$

Задание 2 из 2

2.
Для интегральной формулы Фурье существует эквивалентная ей комплексная форма?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно

Существует, комплексная формула интеграла Фурье имеет вид $f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits _{ -\infty }^{ +\infty }{ d\lambda } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left( \xi \right) { e }^{ i\lambda \left( x-\xi \right) }d\xi } .$

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: Представление функции