Интеграл Фурье как разложение в сумму гармоник
Интегральную формулу Фурье можно переписать следующим образом:
$$f\left(x\right)=\intop _{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ a\left(\lambda \right)\cos { \lambda x } +b\left(\lambda \right)\sin { \lambda x } \right] d\lambda },\quad\left(\ast\right)$$ где
$$a\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ $$b\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$
Равенство $\left( \ast \right)$ аналогично разложению функции в тригонометрический ряд Фурье, а выражения $a\left(\lambda \right), b\left(\lambda \right)$ аналогичны формулам для коэффициентов Фурье.
Замечание. Для удобства дальнейших вычислений формула $\left(\ast\right)$ может быть упрощена, а именно:
- Если $f\left(x\right)$ — чётная функция, то $$a\left(\lambda \right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ а $b\left(\lambda \right)$ принимает значение $0.$ Тогда формулу $\left(\ast\right)$ можно записать в виде $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \cos { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi }.$$ Это выражение называется косинус-формулой Фурье.
- Для нечётной $f\left(x\right)$ получаем соответственно, что $a\left(\lambda\right)$ обращается в нуль, а $$b\left(\lambda\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi },$$ поэтому исходная формула приобретает вид $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \sin { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$ Таким образом, мы получили синус-формулу Фурье.
Замечание. Интегральная формула Фурье имеет эквивалентную ей комплексную формулу интеграла Фурье $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits _{ -\infty }^{ +\infty }{ d\lambda } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left( \xi \right) { e }^{ i\lambda \left( x-\xi \right) }d\xi } .$$
Пример
Представить следующую функцию интегралом Фурье: $$f\left(x\right)=\begin{cases} 1,\quad если \quad \left| x \right| < 1; \\ 0,\quad если \quad \left| x \right| > 1. \end{cases}$$
Данная функция удовлетворяет достаточным условиям, а потому её можно представить в виде интеграла Фурье. Построим график данной функции. Он симметричен относительно оси ординат, следовательно, исходная функция — чётная. Опираясь на замечание для первого случая, имеем: $$b\left(\lambda\right)=0,$$ $$a\left(\lambda \right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(t\right)\cos { \lambda t } dt }=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ 1 }{ f\left(t\right)\cos { \lambda t } dt }=\frac { 2\sin { \lambda } }{ \pi \lambda }.$$ Подставив результат вычислений $a\left(\lambda \right)$ в формулу интеграла Фурье получаем ответ: $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { \lambda } }{ \lambda } } \cos { \lambda x } d\lambda, \quad \left| x \right|\neq 1.$$
Литература
- Будак Б. М., Фомин С. В. Курс высшей математики и математической физики — Кратные интегралы и ряды, М., «Наука», 1965, стр 516-517
- Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу — 13-е издание, исправленное, — М.: Издательство Московского университета, 1997, стр 404-405
- Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)
Тестирование. Представление функции интегралом Фурье
Тесты помогут понять насколько хорошо был усвоен материал.
Здесь просто просится картинка с гармониками…