Формулировка
Если функция ∈C[a,b] и дифференцируема на (a,b), то ∃ξ∈(a,b):f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).
Доказательство
Рассмотрим функцию ∃ξ∈(a,b):f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a), где число λ выберем таким, чтобы выполнялось условие φ(a)=φ(b), т.е. f(a)+λa=f(b)+λb. Отсюда находим
λ=−f(b)−f(a)b−a.
Так как функция φ(x)непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля о корне производной существует точка ξ∈(a,b) такая, что φ‘(ξ)=f′(ξ)+λ=0. Отсюда в силу условия λ=−f(b)−f(a)b−a получаем равенство
f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a
равносильное равенству f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).
Пример
Доказать что ln(1+x)<x при 0<x
Спойлер
Формула конечных приращений Лагранжа
Этот тест был разработан для проверки усвоенных знаний по данному разделу
Литература
- Конспект лекций Лысенко З.М.
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.166-168
- Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
