Метка: пузатость

Задача

Назовем пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите ,что, как бы не резать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

Доказательство

Будем считать что длина стороны квадрата равна 1. Тогда пусть мы разбили квадрат на $n$ прямоугольников размерами $a_k\times b_k$ причем при всех $k$ $a_k\leq b_k$

тогда:

${\textstyle1\geq b_k\Rightarrow\frac1{b_k}\geq b_k\Rightarrow\frac{a_k}{b_k}\geq a_k\times b_k\Rightarrow\sum_{k=1}^n}\frac{a_k}{b_k}\geq{\textstyle\sum_{k=1}^n}a_k\times b_k=1$ (сумма ${\textstyle\sum_{k=1}^n}a_k\times b_k$ является суммой площадей прямоугольников и по свойству площади равна площади квадрата (то есть 1)).

А это значит что:

${\textstyle\sum_{k=1}^n}\frac{a_k}{b_k}\geq1$ . А это и значит, что как бы не резать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

Что и требовалось доказать.