Метка: равенство Парсеваля

Т.к. система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ замкнута — найдутся такие $n\in N$ и  коэффициенты $c,\quad …\quad { c }_{ n }$, что
$${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi  }_{ k } }  \right\|  }^{ 2 }<{ \varepsilon  }^{ 2 }.$$
В силу свойства минимальности коэффициентов Фурье и следствия 1 из него имеем:
$${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } ={ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }\le$$
$$\le{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ c_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }<{ \varepsilon }^{ 2 },$$
откуда, благодаря неравенству Бесселя получаем:
$$0\le { \left\| f \right\|  }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon  }^{ 2 }$$
Т.к. когда $n$ возрастает то выражение ${ \left\| f \right\|  }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } }$ убывает. Отсюда имеем, что для всех номеров $m\ge n$ справедливо неравенство:
$${ \left\| f \right\|  }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon  }^{ 2 },$$
а это и означает, что
$${ \left\| f \right\| }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } }.$$

Доказательство следует из теоремы 1 и следствия 1 из свойства минимальности коэффициентов Фурье. В силу равенства Парсеваля:
$${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi }_{ k }){ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }={ \left\| f \right\| }^{ 2 }-{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } }\rightarrow 0\, ,$$
$$(n\rightarrow \infty ).$$

Пусть $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ — полная ортонормированная система, $f$ — ортогональный ко всем $\ { \varphi  }_{ k }\ $. Тогда все коэффициенты Фурье элемента $f$ по системе $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ равны нулю и, в  силу равенства Парсеваля:
$${ \left\| f \right\|  }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (f,{ \varphi  }_{ k }) }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ 0 } =0.$$
Из аксиом нормы следует, что $f$ — нулевой элемент пространства $R.$