Метка: разность множеств

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B ,$ тогда их объединением называется множество $latex A\cup{} B,$ содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

$latex A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\}$

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств $latex \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A,$ тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$latex \bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha$ $latex = \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\}$

Пересечение

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B$, тогда их пересечением называется множество $latex A\cap{} B$, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

$latex A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\}$

3.Разность

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B$, тогда их разностью называется множество $latex A \setminus B$, содержащее в себе элементы $latex A$, но не  $latex B$ :

$latex A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\}$

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B,$ тогда их симметрической разностью называется множество $latex A \Delta B$, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$latex A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

5.Дополнение

Пусть дано множество $latex A,$ его  дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
$latex \overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\}$

 Свойства операций

Пусть $latex A,$ $latex B,$ $latex C$ — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

$latex A \cup B = B \cup A$

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

$latex (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

$latex A \cap B = B \cap A$

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

$latex (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

5. $latex (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C)$

6. $latex (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C)$

7. $latex C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B)$

8.  $latex C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B)$

9. $latex C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B)$

10. $latex A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B)$

11. Симметрическая разность коммутативна:

$latex A \Delta B = B \Delta A$

12. Симметрическая разность ассоциативна:

$latex ( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C)$

Примеры

1. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\},$ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\},$тогда

$latex A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}.$

2. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\},$ тогда

$latex A \cap B = \left\{ 3, 4 \right\}.$

3. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\},$ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\},$ тогда

$latex A \setminus B = \left\{ 1, 2, 3 \right\},$ $latex B \setminus A = \left\{ 5, 6, 7 \right\}.$

4.  Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\},$ $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6, 7 \right\},$ тогда

$latex A \Delta B = \left\{ 1, 2, 6, 7 \right\}.$

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
• В.В.Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, (Стр. 34-37)
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 39-42)

Операции на множествах. Свойства операций.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Тестовые вопросы по выше изложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Поставьте в соответствие:

   Элементы сортировки

   • $$\left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\}$$
   • $$\left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\}$$
   • $$\left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\}$$
   • $$(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$

   • Объединение

   • Пересечение

   • Разность

   • Симметрическая разность
2. Задание 2 из 7

   2.

   Укажите ошибочную формулировку:

   • Ассоциативный закон: в каком бы порядке не пересекались множества A, B и C, результат не меняется
   • Коммутативный закон: объединение множеств A и B равно объединению множеств B и A
   • Коммутативный закон: пересечение множеств А и В равно объединению множеств В и А
   • Ассоциативный закон: от изменения порядка объединения множеств А, В и С результат не меняется
3. Задание 3 из 7

   3.

   Пусть $latex A= \left\{1, 2, 3, 6\right\}$, $latex B= \left\{3, 6, 7, 8\right\}$, $latex C= \left\{1, 2, 7, 8\right\}$. Расположить в порядке возрастания по количеству элементов в получившемся множестве:

   • $$A\Delta B \Delta C$$
   • $$A\setminus B$$
   • $$A\cup B$$
4. Задание 4 из 7

   4.

   Вставьте пропущенные слова:

   • Операции объединения, пересечения, а также симметрическая разность являются (коммутативными, ассоциативными) и  (коммутативными, ассоциативными).
5. Задание 5 из 7

   5.

   Пусть $latex A = \left\{ 1, 3, 6, 8, 9 \right\}$, $latex B = \left\{ 3, 4, 8, 9, 12, 13 \right\}$,

   $latex C = \left\{ 1, 2, 3, 5, 6, 8 \right\}$, тогда $latex C\setminus ( A \cup B)$ =

   • $$\left\{ 1, 3, 6, 8, 12 \right\}$$
   • $$\left\{ 2, 4, 5, 9 \right\}$$
   • $$\left\{ 1, 2, 3, 5, 6, 8 \right\}$$
   • $$\left\{ 1, 2, 5, 6, \right\}$$
6. Задание 6 из 7

   6.

   Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 7, 8, 9 \right\}$,  $latex B = \left\{ 2, 3, 4, 5, 7 \right\}$,

   $latex C = \left\{ 2, 3, 5, 6, 8, 9 \right\}$, тогда $latex ( A\setminus B) \Delta C =$

   • $$\left\{ 1, 2, 3, 5, 6 \right\}$$
   • $$\left\{ 3, 4, 5, 8 \right\}$$
   • $$\left\{ 5, 6, 8, 9 \right\}$$
   • $$\left\{ 1, 2, 4, 7 \right\}$$
7. Задание 7 из 7

   7.

   Пусть дано множество $latex A$, семейство элементов, не принадлежащему данному множеству, называется его